Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точках а) б)
Уравнения касательной и прямой к непараместричекой кривой в точке записываются по следующим формулам:
- касательная:
- нормаль:
Теперь посмотрим, что нужно заменить, чтобы получить уравнения в точке для параметрической заданной кривой: . Получаем:
- касательная:
- нормаль:
Заметим, что мы считаем, что касательная (и нормаль) существует в точке , только если и
одновременно не равны .
Посчитаем производные: , .
Теперь можно подставить данные точки:
- 1.
Тогда получаем:- касательная:
- нормаль:
- 2.
Получаем, что касательная и нормаль в этой точке не определены.
Ответ
а) касательная: , нормаль:
б) касательная и нормаль не определены
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В каких точках кривой касательная к ней а) параллельна оси ; б) параллельна биссектрисе первого координатного угла?
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты (углы наклона)
равны. Напомним, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой
прямой.
Угловой коэффициент касательной к кривой в точке будет равен
(формула касательной в точке : ).
Тогда нужно посчитать производную : .
Осталось найти:
- 1.
- точку , в которой касательная будет параллельна оси Ox
Уравнение оси Ох выглядит так: . Отсюда получается, что её угловой коэффициент равен (также её угол наклона равен , а ).
Значит, нужно, чтобы был равен . Следовательно: .
Получаем: - 2.
- точку , в которой касательная будет параллельна биссектрисе первого
координатного угла
Биссектриса первого координатного угла имеет угол наклона равный . Отсюда её угловой коэффициент равен .
Тогда , откуда и . Получаем .
Ответ
а) б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точках
а) б) в).
Уравнения касательной и прямой к кривой в точке записываются по следующим формулам:
- касательная:
- нормаль:
Заметим, что если у прямой получается, что неопределен так, что соответствующая
производная стремится к + или , то тогда естетственно считать, что такая прямая параллельна
оси и её уравнение записывается в виде .
Итак, нам понадобится производная :
Теперь можно подставить точки из условия:
- 1.
Производная в точке будет равняться:
Тогда:- касательная:
- нормаль:
- 2.
Производная в точке будет равняться:
Тогда:- касательная:
- нормаль будет перпендикулярна касательной, которая, как видно, параллельна оси . Следовательно, нормаль перпендикулярна оси и, тем самым, не представима в виде . Формула нормали будет:
- касательная:
- 3.
Заметим, что точка находится на границе области определения функции. А значит, ни касательная, ни нормаль в этой точке не определены.
Ответ
а) касательная: , нормаль:
б) касательная: , нормаль:
в) касательная и нормаль не определены в этой точке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти асимптоты графика функции
Данная нам функция является произведением двух непрерывных на функций, то есть она и сама непрерывна на . Значит, вертикальных асимптот у нее нет. Наклонные асимптоты существуют, если существуют конечные пределы:
Найдем их:
Найдём предел:
(Мы здесь воспользовались тем, что при выполнено тождество ) Далее, по формуле Тейлора при :
Следовательно,
Аналогично найдем :
Вновь воспользуемся тождеством, верным при :
Тем самым:
Но поскольку при , то этот последний предел также равен 1. Получается, что у
функции две асимптоты: и .
Посмотрим на соответствующие графики и проверим, что все правильно. Слева график функции,
справа добавлены асимптоты:
Видно, что асимптоты найдены верно.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Исследовать на асимптоты график функции
Убедиться, что график этой функции пересекает асимптоту бесконечно много раз. Отсюда следует, что
представление об асимптоте как о прямой, к которой кривая лишь “стремится”, но никогда “не
достигает” - в корне ошибочно.
Функция непрерывна во всех точках, кроме , как композиция непрерывных
функций. Проверим, есть ли в этой точке вертикальная асимптота. Для этого найдем односторонние
пределы в точке с обеих сторон:
Односторонние пределы оказались конечны и равны друг другу. Значит, разрыв устранимый, и
вертикальной асимптоты в точке нет.
Теперь найдем уравнения наклонных асимптот, а заодно убедимся, что они существуют. Уравнения
асимптот имеют вид Чтобы найти коэффициенты наклона, нужно посчитать пределы на
бесконечностях от :
Чтобы найти коэффициенты , посчитаем пределы от :
Получается, что у графика одна асимптота , и функция стремится к этой прямой как на
положительной, так и на отрицательной бесконечности.
Теперь посмотрим, сколько раз график функции пересекает полученную асимптоту.
Данное уравнение имеет бесконечно много решений, потому что синус - периодическая функция,
принимающая значение 0.
Наконец, посмотрим на график данной нам функции и наглядно убедимся, что верно его исследовали:
Добавим асимптоту :
Как и ожидалось, графики периодически пересекаются.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти асимптоты графика функции .
График имеет две вертикальные асимптоты, соответствующие нулям знаменателя: и .
Поскольку при функция имеет вид , конечных пределов, а значит и наклонных асимптот, у графика нет.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Написать уравнения касательной и нормали к кривой
в точках: .
Для начала найдем в общем виде. Поскольку
|
имеем
-
Значению параметра соответствует точка , при этом
Так что касательная имеет уравнение , нормаль имеет уравнение .
-
Значению параметра соответствует точка , при этом
Так что касательная имеет уравнение , нормаль имеет уравнение .
-
Значению параметра соответствует точка , при этом
Так что касательная имеет уравнение , нормаль имеет уравнение .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти асимптоты графика функции
1. Вертикальные асимптоты. Поскольку наша функция как произведение всюду непрерывных
функций и то ни в какой точке она не может иметь вертикальной асимптоты -
наша функция в каждой точке определена и имеет конечный предел, причем равный своему значению в
этой точке.
2. Наклонные асимптоты. Посмотрим, чему может быть равно из определения наклонной
асимптоты на плюс бесконечности.
Отлично, предел получился конечным, а, значит, это повод найти :
C другой же стороны, (мы что-то стремящееся к минус бесконечности
делим на что-то стремящееся к нулю справа) .
Таким образом, получаем, что является асимптотой (по сути, горизонтальной) графика
функции только(!) на плюс бесконечности.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти асимптоты графика функции
1. Вертикальные асимптоты. Это самый простой вид асимптот. Для их отыскания достаточно найти
такие что при или будет
В данном случае кандидаты на такое - это, понятное дело, нули знаменателя Ясно,
что и при и при функция стремится к либо к либо к - смотря с
какой стороны подходить к нулю знаменателя. Тем самым, прямые и - вертикальные
асимптоты.
2. Наклонные асимптоты. Посмотрим, чему может быть равно из определения наклонной
асимптоты на плюс бесконечности.
Отлично, предел получился конечным, а, значит, это повод
найти :
Заметим, что мы нигде не пользовались тем, что а не Поэтому все наши
рассуждения пункта 2 можно переформулировать и для случая стремления к минус бесконечности.
Таким образом, получаем, что является асимптотой (по сути, горизонтальной) графика
функции и на плюс, и на минус бесконечности.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Среди всех точек пересечения двух кривых выбрать ту, у которой наибольшая абсцисса и в ней вычислить угол между этими кривыми.
Чтобы найти точки пересечения указанных кривых, нужно приравнять правые части:
То есть
Значит, у нас всего две точки пересечения: Нам по условию нужна именно вторая
Далее, угол между кривыми в данной точке равен углу между их касательными в этой точке.
1. Поэтому касательная к первой функции в точке имеет
вид
2. Поэтому касательная ко второй функции в точке имеет вид
Нормаль к первой прямой, таким образом, имеет координаты
Нормаль ко второй прямой, таким образом, имеет координаты
Тогда угол между касательными равен .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каком значении параметра прямая может являться касательной к функции хоть в какой-то точке?
Уравнение касательной к дифференцируемой функции в точке имеет вид:
поскольку есть не что иное, как угловой коэффициент касательной, то мы
имеем:
С другой стороны, свободный член у нашей касательной равен в и то же время он должен быть
равен то есть в нашем случае имеем:
Откуда легко находим, что а, значит, а, значит,
И мы с вами получили, что единственный возможный случай - это когда а касательная при
этом к функции проводится в точке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Выписать уравнение касательной к графику в точке с абсциссой
Найдём в общем виде: Тогда Далее,
Таким образом, согласно формуле для уравнения касательной к дифференцируемой функции в точке
:
Тогда получаем в нашем случае: