Переведём число в другие системы счисления.

, что нам не подходит, так как в его записи четыре значащих разряда.

, число имеет три значащих разряда, значит, искомая система счисления - 3.

x = 67*14**63 + 28**123 + 47*42**210 - 349564
mx_c = 0
ans = 0
for i in range(8,17):
    c = 0
    n = x
    while n > 0:
        if n % i == 7:
            c += 1
            if c >= mx_c:
                mx_c = c
                ans = i
        n //= i
print(ans)

for n in range(2, 11):
    a = n**25 - 2*n**13 + 10

    s = ’’
    while a > 0:
        s = str(a % n) + s
        a = a // n

    sm = 0
    for i in s:
        sm += int(i)

    if sm == 75:
        print(n)

for x in range(20):
    # Переводим в 10 с.с.
    n = 8*x + 4
    if n == 1*8**2 + 6*8 + 4:
        print(x)

for x in range(10):
    f = 1 * x**2 + 1 * x + 6
    s = 2 * x + 1
    if f+s == 1 * x**2 + 4 * x:
        print(x)

for n in range(2, 50):
    x = 223
    s = ’’
    while x > 0:
        s = str(x % n) + s
        x = x // n
    while s[0] == ’0’:
        s.pop(0)
    if len(s) <= 2 and s[-1] == ’6’:
        print(n)
        break

for x in range(17):
    a = x**2 + 2*x + 4
    b = x + 6
    c = x**2 + 4*x + 1
    if a+b == c:
        print(x)

Если запись числа четырехзначна, максимальное значение числа равно , где переменная - основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: , максимальное трехзначное число: . Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:
Двоичная: , слишком мало, запись числа 79 будет состоять более, чем из четырех цифр.
Троичная: . Значит, искомое значение – 3. Для проверки переведем 79 в троичную систему счисления: .

 

Для удобства переведем все числа в десятичную систему счисления:



Теперь, когда все числа находятся в одной системе счисления, можем составить квадратное уранение:


;

Переведем искомое основание в троичную систему счисления: .

 

Для начала переведем все числа в десятичную систему счисления:


Теперь, когда все числа находятся в одной системе счисления, можем составить линейное уранение и решить его:



Искомое основание переводим в двоичную систему счисления и получаем ответ: .

 

Переведем 56 в десятичную систему счисления:
Составим линейное уравнение, решим его:



Для перепроверки сделаем обратный перевод:

 

Переведем 101 в десятичную систему счисления:
Теперь подставим в наше уравнение вместо полученное выражение и решим квадратное уравнение:



Отрицательный корень нам не подходит, т.к. основание системы счисления не может быть отрицательным. Значит, искомое основание равно 2.
Для перепроверки сделаем обратный перевод:

 

Решение аналитически

Переведем обе части уравнения в десятичную систему счисления:

Теперь решим новое линейное уравнение и найдем ответ:

Значит, искомое основание равно 13.

Решение программой

for x in range(4, 16):
    if int(’37’, 11) == int(’31’, x):
        print(x)

Переведем в десятичную систему счисления:

Теперь подставим в наше уравнение вместо полученное выражение и решим квадратное уравнение:

Отрицательный корень нам не подходит, т.к. основание системы счисления не может быть отрицательным. Значит, искомое основание равно .

Для перепроверки сделаем обратный перевод:

Решение программой:

for i in range(2, 10):
    if 10 == int(’101’, i):
        print(i)