Тема . ДВИ по математике в МГУ
Логарифмы на ДВИ
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела дви по математике в мгу
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31472

Решите неравенство:

log2x 16 − log4x8≤ 1.
Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала, конечно же, находим ОДЗ! Но, заметим, что основания двух логарифмов разные, и при этом каждый из них содержит x. Что можно сделать, чтобы было удобнее работать с x?

Подсказка 2

Да, по свойству логарифмов мы можем перевернуть каждый из них и x перейдет в аргумент! Что будем делать дальше, чтобы получить какое-то хорошее неравенство, где например, можно было бы сделать замену?

Подсказка 3

Конечно, давайте распишем каждый из логарифмов таким образом: logₐ(xy) = logₐx + logₐy. Дальше давайте просто сделаем замену вида: t = logₐx, решим неравенство и пересечём ответ с ОДЗ!

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ: x∈ (0;1)∪ (1;1)∪ (1;+∞ )
     4   4 2    2  . Далее перевернём логарифмы и используем свойства логарифмов:

---1--  ---1-      ----1---   ---1----     ---4---   ---3---
log162x −log84x ≤ 1⇔ 14 +log24x − 23 + log23x ≤ 1⇔ 1 +log2x − 2+ log2x ≤ 1

Заменим log2x  на t  и получим дробно-рациональное неравенство:

                             2              2
--4-− --3-≤ 1⇔ ---t+-5---− -t-+3t+-2-≤ 0⇔ -t-+-2t−-3-≥ 0⇔
1 +t  2+ t     (t+ 1)(t+2)  (t+1)(t+ 2)     (t+1)(t+2)

  (t− 1)(t+3)
⇔ (t+1)(t+2) ≥ 0 ⇔  t∈ (−∞;−3]∪ (−2;−1)∪[1;+ ∞)

Теперь сделаем обратную замену и получим:

              1      1    1                      1   1 1
log2x ∈(−∞;log2 8]∪(log24;log22)∪ [log22;+∞ ) ⇔   x∈ (0;8]∪ (4 ;2)∪ [2;+∞ ).
Ответ:

 (0;1]∪ (1;1)∪ [2;+∞ )
   8   4 2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!