Тождественные преобразования на ДВИ —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тождественные преобразования на ДВИ

Тема ДВИ по математике в МГУ

Тождественные преобразования на ДВИ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела дви по математике в мгу

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#64524

Определите, какое из двух чисел больше: $√3+ √7+ √21$ или $9.$

Подсказки к задаче

Подсказка

Корней очень много, поэтому от них надо избавляться путем возведения в квадрат!

Показать ответ и решение

Покажем, что второе число больше. Перепишем неравенство в виде

√- √- √-- √- √- √- √- √ - √ - √- 3+ 7+ 21< 9⇐ ⇒ 7+ 21< 9− 3⇐ ⇒ 7(1 + 3) < 3(3 3− 1)

Далее возведём в квадрат

√-2 √- 2 √ - √ - 7(1+ 3) <3(3 3− 1) ⇐ ⇒ 7+ 14 3+21< 81− 18 3+3 ⇐⇒

⇐ ⇒ 32√3-< 56⇐⇒ 4√3 <7 ⇐⇒ 48< 49

Последний переход также был возведением в квадрат. Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: второе

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64523

Определите, какое из двух чисел больше: $√315$ или $9√14.$

Подсказки к задаче

Подсказка

Чтобы числа было проще сравнивать, превратим все числа в степени с одинаковыми основаниями, тогда останется лишь сравнить степени!

Показать ответ и решение

Чтобы сравнить было проще, сделаем одинаковыми основания, используя $9= √34$ , тогда нам требуется сравнить $√315$ и $√34⋅√14-$ , или, что то же самое, $15$ и $√-- 4⋅ 14$ . Достаточно возвести равенство в квадрат, тогда $2 2 15 = 225> 4 ⋅14 =224$ , откуда первое число больше.

Ответ: первое

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#64522

Найдите в явном виде натуральное число, заданное выражением $(2√2-)2∕3+ ( 27√-)2∕3− 13. 27 2 2 18$

Подсказки к задаче

Подсказка

Вспомним свойства степеней и представим числа внутри дробей, чтобы избавиться от дробей в степенях! Тогда выражения приятно преобразуется и мы получим натуральное число.

Показать ответ и решение

Воспользуемся тем, что $2√2-= (√2)3,27 =33$ , тогда выражение примет вид

(√2)2∕3⋅3 32∕3⋅3 13 2 9 13 4+81− 13 72 -32∕3⋅3- +(√2)2∕3⋅3 − 18-= 9 + 2 − 18 =--18---= 18 = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#64521

Определите, какое из двух чисел больше: $∘3-+2√2 +∘3-−-2√2-$ или $3.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Двойные корни нам не приятны, поэтому давайте вспомним, как мы можем от них избавиться!

Показать ответ и решение

∘ ---√-- ∘ ----√- a= 3+ 2 2+ 3− 2 2> 0

2 √ - ∘ ----√- ∘ ---√-- √- ∘ 2----√-2- a = 3+2 2+2 ⋅ 3+ 2 2⋅ 3− 2 2 +3− 2 2= 6+ 2⋅ 3 − (2 2) =8

Поскольку $a> 0$ , то $a= √8 <3 =√9-$ .

Ответ: второе

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#64520

Найдите в явном виде целое число, заданное выражением

√-- (---2---- ---2---) 11⋅ √11-− √7-+ √11+ √7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Иррациональные знаменатели нам точно не нужны. Подумайте, как мы можем от этой иррациональности избавиться и посмотрите внимательно на оба знаменателя при этом :)

Подсказка 2

Если перед Вами все еще сумма двух дробей – самое время это исправить и преобразовать их к единой дроби. А заодно можем раскрыть все скобки и привести подобные, ведь пока не видно каких-то других преобразований. А нужны ли они или уже можем все посчитать?

Показать ответ и решение

Приведём выражения к общему знаменателю и воспользуемся формулой разности квадратов $a2− b2 = (a− b)(a +b)$

√-- 2⋅(√11− √7)+2 ⋅(√11+ √7) √11-⋅4√11- 11⋅---(√11−-√7)(√11+-√7)---= ----4--- = 11

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#64519

Известно, что

--x- 1−-x -1 f(x)= 1+ x + x −24

Найдите $(3) f 5.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните, как мы вычисляем значение функции при конкретном значении переменной и найдите ответ!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Подставим и упростим полученное выражение, приведя к общему знаменателю

3∕5 1− 3∕5 1 3 2 1 9+ 16 − 1 24 f(3∕5)= 1+3∕5 +--3∕5--− 24 = 8 + 3 − 24-=--24----= 24-= 1

Второе решение.

Преобразуем функцию

2 -x--+ 1− x-− 1-= x-+-(1-− x)(1+-x)− 1-= 1+x x 24 (1+x)x 24

x2+-1− x2 1- --1--- -1 = (1+ x)x − 24 = (1 +x)x − 24

Подставим $x =3∕5$ :

1 1 25 1 3∕5-⋅8∕5 − 24 = 24-− 24-= 1

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63905

Известно, что $a+ b+ c=5$ и $ab+ bc+ac= 4$ . Найдите $a2 +b2+ c2.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно на то, что нам дано и что мы хотим найти. Подумайте о том, какие формулы могут связывать произведения чисел, сами числа и их квадраты?

Подсказка 2

Верно, это формула квадрата суммы трех слагаемых! Воспользуйтесь ей и преобразуйте выражение так, чтобы можно было из того, что нам дано найти то, что у нас просят!

Показать ответ и решение

$(a+ b+c)2 = a2+b2+ c2 +2(ab+bc+ ac)$ , откуда $a2+ b2+ c2 =52− 2⋅4= 17.$

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел