Касательная к гиперболе в точке касания имеет уравнение

И, поскольку наша касательная должна быть параллельна прямой то нормали к нашей касательной и к прямой должны быть коллинеарны. То есть вектора и - коллинеарны. То есть, существует такое то . То есть, имеем

Или, исключая получим, что .

Не забудем также, что если - точка касания, то она лежит на гиперболе, то есть удовлетворяет её уравнению:

Тогда мы имеем систему Из которой выражая и подставляя во второе уравнение, получаем квадратное уравнение на .

Оно имеет 2 решения:
1 случай. тогда . Тогда уравнение касательной имеет вид

2 случай. тогда . Тогда уравнение касательной имеет вид

То есть существует две касательных, удовлетворяющих условию задачи.