Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти и для функции, заданной неявно:
Дифференцируем обе части равенства по , считая функцией от :
Откуда
И вновь дифференцируем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти и для функции, заданной неявно:
Дифференцируем обе части равенства по , считая функцией от :
Откуда
А учитывая, что , мы можем красиво записать ответ как
Дифференцируем теперь предыдущее равенство по :
Но притом, что
мы получим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для функции
Вычислить .
Какая будет формула для ?
Функцию тоже можно считать параметрически заданной как
Тогда по теореме о производной параметрически заданной функции, получаем:
А теперь вычисляем:
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для функции
Вычислить , .
1.
2.
Вычислим вторые производные и :
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для функции
Вычислить .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть к условиям теоремы о дифференцировании параметрически заданной функции добавлены условия двукратного дифференцирования функций и по переменной в точке . Вывести тогда в этих условиях формулу второй производной параметрически заданной функции:
Функция на самом деле тоже функция параметра : , а потому её вновь можно считать параметрически заданной:
И к этой параметрически заданной функции применяем уже имеющуюся теорему о производной параметрически заданной функции и получаем
А это в точности то, что мы и хотели.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что у функции существует производная в точке тогда и только тогда, когда у неё существует дифференциал в точке .
1. Пусть у существует производная в точке . Обозначим её через .
То есть, это означает, что
Тогда очевидно, что
То есть, иными словами,
Далее, в этом последнем равенстве перенесем в правую часть и домножим всё на :
Но это в точности означает, что у сущесвтует дифференциал в точке , а именно, дифференциалом будет линейная функция
2. Пусть у существует дифференциал в точке .
Это означает, что найдётся такая линейная функция , что
Далее, давайте это последнее равенство поделим почленно на :
И теперь, если перейти к пределу при , мы увидим, что
А это и означает, что у существует производная в точке , и эта производная равна .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Используя теорему о производной отношения, доказать, что - дифференцируем всюду, где отличен от нуля, и
Распишем тангенс как отношения синуса к косинусу:
Тогда по упомянутой в условии теореме, имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Используя теорему о производной обратной функции, доказать, что - всюду на своей области определения дифференцируема и
Для функции , функция является обратной.
Тогда, по теореме о производной обратной функции:
Но в левой части равенства у нас аргумент у производной , а в правой - . Это нехорошо. Нужно, чтобы везде был единый аргумент. Давайте обозначим . Тогда получаем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Из формулы и теоремы о производной произведения вывести формулу для производной частного (при условии существования и ):
Мы уже знаем, что всюду, где - дифференцируема и , верна формула:
Тогда применим к дроби
правило Лейбница дифференцирования произведения, представив дробь в виде произведения двух функций:
Тогда по правилу Лейбница:
Осталось лишь привести всё это дело к общему знаменателю и получить нужную нам формулу:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Используя теорему о производной композиции функции, доказать, что для любой функции , дифференцируемой в точке и притом такой, что , выполнено, что
Действительно, из таблицы производных следует, что - дифференцируемая всюду кроме точки функция, и . Таким образом, композиция будет дифференцируема всюду, кроме тех точек, где и где сама дифференцируема, и, кроме того, из теоремы о производной композиции, следует, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать приближенную формулу
и вычислить при помощи этой формулы
Поскольку - функция, дифференцируема в каждой точке , мы имеем
право записать следующее равенство, верное при в окрестности точки :
Где - разумеется, есть не что иное, как производная в точке , то есть
.
Тем самым, запишем последнее точное равенство без -малого, но в приближенном виде:
И мы фактически и доказали требуемую в условии задачи формулу. Остаётся лишь произвести вычисления, взяв в качестве , а в качестве (в обозначениях задачи это просто ) взяв :
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Используя приближенные вычисления при помощи дифференциала, вычислить:
a) ;
b) ;
c)
a) Поскольку - функция, дифференцируема в каждой точке своей области определения, в
частности, это означает, что у неё существует дифференциал в каждой точке своей области
определения, мы имеем право записать следующее равенство, верное при в окрестности точки
:
Где - разумеется, есть не что иное, как производная синуса в точке , то есть
.
Тем самым, запишем последнее точное равенство без -малого, но в приближенном виде:
Давайте теперь возьмём , тогда как раз получится, что . Имеем:
Далее, полагая , а , имеем:
b) Поскольку - функция, дифференцируема в каждой точке своей области определения, в
частности, это означает, что у неё существует дифференциал в каждой точке своей области
определения, мы имеем право записать следующее равенство, верное при в окрестности точки
:
Где - разумеется, есть не что иное, как производная десятичного логарифма в точке , то
есть . Где
Тем самым, запишем последнее точное равенство без -малого, но в приближенном виде:
Давайте теперь возьмём . Тогда
с) Поскольку - функция, дифференцируема в каждой точке своей области определения, кроме
нуля в частности, это означает, что у неё существует дифференциал в каждой точке своей области
определения, кроме нуля, мы имеем право записать следующее равенство, верное при в
окрестности точки :
Где - разумеется, есть не что иное, как производная в точке , то есть
.
Тем самым, запишем последнее точное равенство без -малого, но в приближенном виде:
Давайте теперь возьмём Имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Показать, что функция
имеет положительную производную в точке , однако не монотонна ни в какой окрестности точки .
Посчитаем производную по определению:
Так
как во втором слагаемом мы имеем предел произведения бесконечно малой функции на ограниченную,
который равен .
Однако, при этом функция не возрастает ни в какой окрестности точки 0, ведь
И существуют две последовательности вида , . Эти последовательности стремятся к , причём и :
Следовательно, вблизи окрестности существует бесконечно много как промежутков возрастания, так и промежутков убывания, поэтому функция не монотонна ни в какой окрестности .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти логарифмическую производную от функции , если:
- а)
- б)
- в)
- а)
-
- б)
-
- в)
-
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти , если:
- а)
- б)
- в)
- а)
-
- б)
-
- в)
- Сначала найдем логарифмическую производную:
Поскольку справедливо равенство
окончательно имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти производную кусочно-заданной функции
Производная при : . Производная при : . Получаем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти производную кусочно-заданной функции
На отрезке производная равна . Вне отрезка производная будет 0. Получаем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти , если
Решение 1. Разложим функцию по Тейлору в точке и посмотрим на коэффициент при :
За многоточие обозначена сумма слагаемых со степенью, меньшей 5. При взятии пятой производной сумма этих слагаемых занулится. Так как производная ищется в точке 0, то все слагаемые со степенью, большей 5, тоже занулятся. Следовательно,
Решение 2. Посчитаем производную явно. Для удобства запишем функцию в виде
Тогда
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти производную кусочно-заданной функции
На промежутке производная . На промежутке производная . На промежутке производная . Получаем: