Раскроем скобки

Так как

Добавим к обеим частям равенства

И так как и положительные, получаем ответ.

Конечно, можно для каждой корзины попробовать её убрать и посмотреть, можно ли оставшиеся разбить на две группы, подходящих под условие. Но можно сократить перебор:

Если яблок первого сорта стало в два раза больше яблок второго сорта, то общее количество оставшихся яблок должно делиться на . Первоначальное количество яблок равно штук. Так как делится на , то количество убранных яблок тоже должно делиться на . Поэтому варианты на и яблок не подходят. Если убрали яблок, то яблок второго сорта должно быть штук. Но штук нельзя набрать используя корзины на и яблок.

Осталось проверить, что ответы и достигаются. Для этого надо предъявить примеры, как могли быть распределены яблоки по группам (сортам), чтобы количество яблок в одной группе было в два раза больше, чем в другой. Действительно:

Заметим, что соседи Артура точно являются лжецами. Также, те, кто стоит через одного человека от Артура также заведомо являются лжецами. Это значит, что человек, который находится от Артура на расстоянии два (в любую из сторон) — рыцарь, так между ним и Артуром точно стоят два лжеца. Заметим, что тогда и следующий после рыцаря человек тоже обязан быть рыцарем и так далее. Получается, что все люди, которые стоят на расстоянии не менее чем в два человека от Артура — рыцари. Получается, что всего лжецов может быть не более четырёх человек. Все эти варианты возможны: если Артур стоит последним в шеренге, то лжецов будет двое, если же препоследним, то трое, а иначе лжецов будет четыре.

Предположим, что вор — Смит. Тогда Браун и Джонс оба сказали правду дважды. Противоречие. Предположим, что вор — Джонс. Тогда Браун и Смит один раз солгали и один раз сказали правду. Также получили противоречие. Если же вор — Браун, то тогда условие задачи выполняется. Других вариантов, очевидно, быть не может.

Например, подойдёт число . Оно делится на , а его сумма цифр равна .

Пусть в турнире участвовало рыцарей. Тогда к концу четвёртого дня сэр Ланселот сразился с участниками, а сэр Тристан с . Оба числа должны быть целыми, а значит, должно делиться на . То есть .

После первого стирания на доске останутся только нечётные числа. Посмотрим на второе. Мы вычеркнем числа , , , …. Это числа, которые при делении на дают остаток . Это действительно так, потому что если мы вычернкнули число , то останутся числа , , а следующее — будет вычеркнуто. Числа и дают одинаковые остатки при делении на , а значит, мы действительно вычеркнем все числа, дающие остаток при делении на , так как первое вычеркнутое число равно . То есть оставшиеся числа разбиваются на пары, в которых первое число даёт остаток при делении на , а второе — . А при делении на эти числа дают остаток . Это означает, что остались числа дающие остаток и при делении на . Если пронумеровать пары оставшихся чисел, то в паре с номером будут стоять числа вида и . Числа стоящие на -ом и -ом месте попадают в пару под номером . Это значит, что там будут числа и . Их сумма равна .

Если команда набрала очка за игры, то либо она выиграла одну игру и проиграла две, либо же сыграла три игры вничью. Первый вариант невозможен, так как иначе было ещё две команды, которые набрали хотя бы по три очка (победив «Катрапс»), то есть «чистое» второе место мы бы не заняли. Значит было сыграно три игры вничью. Среди оставшихся трёх команд только одна могла побеждать, иначе бы опять хотя бы у двух команд было больше трёх очков. Более того, у команды на первом месте должно быть хотя бы очка, а значит одна победа у неё точно была. Итак, у команды на первом месте есть хотя бы очка, у «Катрапса» — , у -го и -го места по одному очку и осталась одна игра между победетилем и третьим или четвёртым место и игра между третьим и четвёртым местом. Игра между третьим и четвёртым местом не могла закончиться чьей-то победой, поэтому там точно была ничья, то есть у последних мест есть хотя бы по очка у каждой команды. Если же победитель сыграет с кем-то из оставшихся в ничью, то появится команда, у которой будет очка, что противоречит условие. Значит, последняя игра закончилась победой текущего первого места. В итоге команды набрали , , и очка.

Опустим на луч перпендикуляр из вершины — полученную точку обозначим за . Заметим, что треугольник — прямоугольный с углом , а значит, , а угол . Тогда треугольник — равнобедренный, и . Получаем, что . Но это означает, что точка совпадает с точкой из условия, и .

Распишем равенство :

Перебирая значения от 1 до 4 получаем, что подходит только 3. При равенство не достигается, ведь

Пусть скорость Саши в начале месяца была равна . По условию  — целое число. Также, числа , и тоже целые. Перебирая всевозможные делители числа получаем, что это может выполняться только для числа .

Раз одно из чисел делится на , то оно оканчивается на . Оба числа не могут оканчиваться на , иначе их сумма тоже будет оканчиваться на , а по условию это не так. Получается, что из числа, которое оканчивается на стирают цифру и получают второе. Таким образом наши числа имеют вид и . Тогда их сумма равна , откуда . Значит их разность равна .

Рыцарь на этот вопрос ответит «нет». Лжец ответит «да», поэтому лжецов перед нами нет. Конформист может дать ответ «нет» только если стоит рядом с лжецом. Но лжецов перед нами нет, поэтому конформист может отвечать только «да». Раз никто не сказал «да», то и конформистов перед нами нет. Значит, перед нами стоят три рыцаря.

Шесть лет назад сёстрам было суммарно лет. Валя была старше Гали в два раза, откуда следует, что Гале было 4 года, а Вале 8. Значит, сейчас Гале 10 лет.

Пусть старшина отправил каждого -го из строя выполнять поручение. Тогда посмотрим на последнего ушедшего из него. Если он стоял последнем в строю, то число людей делилось на и после поручения их стало ровно на меньше от всего строя. Но тоже самое количество людей могло остаться, если бы последнего человека в строю не было. То есть мы получаем не более двух возможных исходов того, сколько людей могло быть в строю до назначения работы.

После последнего поручения в строю осталось от всего отряда, кроме может быть одного человека. То есть людей могло быть или же (во втором случае из строя выйдут трое человек, кроме условного -го, которого и так не было). После предпоследнего, в строю осталось от всего отряда, кроме может быть одного человека. В таком случае, если было человек, то до ухода их было или человек, а если , то , но так как число людей должно быть целым, то их могло быть только . После первого поручения в строю могло остаться от всего отряда, кроме может одного. То есть людей могло быть или , либо , то есть или же , то есть .

Девять самых легких гирек имеют массу грамм, а девять самых тяжелых — грамм. Разность между весами этих двух наборов наибольшая из возможных и равна граммов. Это означает, что бронзовые гирьки самые лёгкие, а серебряные — самые тяжелые. Но тогда золотая гирька может весить только граммов.

Первая цифра года всегда будет равна , поэтому дата-палиндром должна иметь вид . Далее посмотрим на третью и пятую цифры. Они могут быть равны только или так как иначе номер месяца будет слишком большим. То есть даты бывают только двух видов и . Дата второго вида может быть только одна иначе год будет не из XXI-го века. Но как видим, в такой дате будет «нулевое» число — противоречие. Значит, даты бывает только первого вида: . Второй месяц это февраль и в нём дней. Любой из них даст одну возможную дату палиндром, так как год будет лежать в нужных переделах. Осталось только проверить возможную дату с февраля. Это будет в , что выпадает на високосный год, а поэтому такая дата корректна. Итого, получили возможных дат.

Предположим, что первая встреча произошла через час после выезда. Так как она случилась в пункте , то пока первый за час проезжает два промежутка — между и и между и , второй проезжает три — между и , и , и и . Теперь расстояние между ними равно десяти промежуткам, так как им надо проехать до противоположных пунктов, а затем развернуться и проехать навстречу друг другу. Значит, что следующая встреча произойдёт через два часа и первый проедет четыре промежутка, остановившись в пункте .

Обозначим медиану за , а её точку пересечения с биссектрисой за . Тогда в треугольнике отрезок является биссектрисой и высотой одновременно, а значит, треугольник — равнобедренный. Откуда , то есть . Аналогично, , откуда получаем, что периметр треугольника равен

Продлим стороны и до пересечения в точке . Заметим, что , а значит, треугольник — равносторонний. Тогда треугольники и равны по двум углам: , по условию; и прилежащей стороне: . Тогда и сторона равностороннего треугольника равна , а значит, и