Теория чисел на Межведе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Теория чисел на Межведе

Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Теория чисел на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88063

Пусть $A = 11111$ . Найдите остаток от деления числа

2024 2023 (2023⋅A − 1) +(2024⋅A+ 1)

на число $123454321.$ Ответ обоснуйте.

Показать ответ и решение

Вычислим $A2 :$

2 2 A =11111 =123454321

То есть нужно найти остаток по модулю $A2.$ Рассмотрим первое слагаемое.

(2023⋅A − 1)2024 = (2023⋅A− 1)⋅(2023⋅A− 1)⋅...⋅(2023 ⋅A − 1) ◟--------------2◝0◜24--------------◞

Раскрывая скобки, как минимум два раза выберется $A$ из скобок, что дает $0$ в сравнении по модулю $A2.$ Это верно, кроме случаев, когда были выбраны все единицы или когда было выбрано одно $A$ из всех скобок. Тогда, используя бином Ньютона, получаем, что первое слагаемое сравнимо с

(2023 ⋅A − 1)2024 ≡ −2023A ⋅2024+ 1 A2

Аналогично получаем, что второе слагаемое сравнимо с

2023 (2024 ⋅A + 1) A≡2 2024⋅A ⋅2023+ 1

Тогда получаем

(2023⋅A − 1)2024+ (2024⋅A+ 1)2023 ≡2 −2023A⋅2024 +1+ 2024 ⋅A ⋅2023+ 1= 2 A

Следовательно, остаток равен $2.$

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88062

На какое самое большое натуральное число будет гарантированно делиться произведение любых шести подряд идущих натуральных чисел?

Ответ обоснуйте.

Показать ответ и решение

Поскольку произведение первых 6 натуральных чисел равно $6!= 720,$ то искомое число не больше $720.$

Осталось доказать, что произведение любых подряд идущих 6 натуральных чисел $n+ 1,n +2,...,n+ 6$ делится на $720$ . Поделим:

(n +1)(n +2)...(n+ 6) (n +6)! 6 --------6!--------= -6!n!--= Cn+6

и получим натуральное число способов выбрать шестёрку из $n+ 6$ элементов. Действительно, делится.

Ответ: 720

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#68099

Обозначим

a= 3481,b= 4120,N = 26029

Известно, что остаток от деления числа $b2$ на $N$ равен $a.$ Найдите разложение числа $N$ на простые множители.

Источники: Межвед-2023, 11.7 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Каким-то образом у нас в условии есть утверждение про квадрат, а числа у нас какие-то странные…быть может, поискать какие-то свойства у них?

Подсказка 2

Число а - квадрат! Тогда мы можем записать условие на остаток от деления на N и выполнить некоторые преобразования, чтобы понять, какие числа имеют с N общие делители.

Подсказка 3

Оказывается, (b-59)(b+59) делится на N! Тогда хотя бы одна из этих скобок имеет с N общие множители, а, значит, мы можем найти их НОД с N) Как это сделать?

Подсказка 4

По алгоритму Евклида находим НОД((b-59), N), остаётся лишь понять, а на что ещё делится N?)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Заметим, что $26029= 131⋅199.$ Далее проверкой до целой части от соответствующего арифметического корня проверяем оба множителя на простоту. Разложение получено.

Второе решение.

Заметим, что $2 a= 59.$ Тогда

b2 ≡N 592

(b− 59)(b+ 59)≡N 0.

Следовательно, пары чисел $(b− 59) и N$ или $(b+ 59) и N$ имеют общие делители, отличные от 1. Найдём наибольший общий делитель чисел $(b+59) и N$ по алгоритму Евклида:

26069= 6⋅4179+ 995

4179= 4⋅995 +199

995= 5⋅199

Следовательно, $НОД((b+59),N )=199$ – простое число. Остаётся разделить $N$ на $199.$

Ответ:

$131⋅199$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#68094

Решите уравнение в целых числах

x+y x y 12 ⋅3 = 3 + 3

Источники: Межвед-2023, 11.2 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть y неотрицательный. Давайте тогда попробуем сначала перенести одно из слагаемых с правой части влево и вынести за скобку общий множитель. Что тогда хочется ещё сделать? Что мы можем оценить из нашего предположения для y?

Подсказка 2

Верно, давайте сократим на 3^x и посмотрим на левую часть. Она целая, если y неотрицателен, и причём не делится на 3. Тогда что можно сказать о правой части и с чем возникает противоречие?

Подсказка 3

Да, правая тоже будет целым числом, но тогда она будет степенью тройки. Но такого быть не может! Отлично, то есть y не больше чем -1, а в силу симметрии x тоже. Давайте теперь вернёмся к исходному уравнению. Что, возможно, вам хотелось сразу сделать, но потом вы ни к чему не пришли? Как можно избавиться от степени тройки с одной стороны уравнения?

Подсказка 4

Точно, давайте теперь сократим на 3^(x+y). Тогда справа у нас останется сумма степеней троек, а слева число. Причём степени у нас будут положительные из-за ранее сделанных выводов. Осталось только оценить степени и победа!

Показать ответ и решение

Предположим, что $y ≥ 0.$ Преобразуем уравнение:

x y y 3 (12⋅3 − 1)= 3

y y−x 12⋅3 − 1 =3

Тогда, так как $y ≥ 0,$ то $12⋅3y− 1 ≥11,$ число целое и не кратно трем. Значит, $3y−x$ тоже целое, но число $12⋅3y− 1≥ 11$ не может быть степенью тройки (нулевой быть не может, так как оно больше $1,$ а ненулевой - так как оно не кратно $3).$ Таким образом, $y ≤−1.$ В силу симметрии относительно перестановки $x,y$ получим, что $x ≤−1.$ Пусть $x = −m,y = −n,n,m∈ ℕ.$ Тогда:

12⋅3−m−n = 3−m + 3−n

Домножим на $3m+n :$

12 =3n +3m

Пусть $n ≥ m.$ Если $m ≥ 2,$ то $3n +3m ≥ 9+9 =18> 12.$ Значит, $m = 1,$ тогда $n= 2.$ Получим что, $n= 2,m = 1$ или $n= 1,m = 2.$ Откуда получим ответ.

Ответ:

$(−1,−2),(−2,−1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#72040

Решите уравнение

2 2 x + y +1= 6xy,

где $x$ и $y$ — натуральные числа.

Источники: Межвед-2022, 11.8 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть уравнение второй степени относительно x и y в натуральных числах. В таких случаях бывает полезно рассмотреть его как квадратное относительно одной из переменной. Что мы можем сказать про это уравнение относительно x?

Подсказка 2

Если y- натуральное число, то все коэффициенты этого уравнения целые числа. Тогда, чтобы x был целым, необходимо, чтобы четверть дискриминанта была полным квадратом. Может ли такое быть?

Подсказка 3

D/4=8y²-1. Тогда должно существовать целое t такое, что t²=8y²-1. Какие тогда ограничения, связанные с остатками, накладывается на t?

Подсказка 4

t² должен давать остаток -1 при делении на 8. Но может ли такое быть? Переберите квадраты всех остатков при делении на 8 и убедитесь, что это невозможно!

Показать ответ и решение

Пусть пара натуральных чисел $(x ,y ) 0 0$ удовлетворяет исходному уравнению

2 2 x + y +1 =6xy

(1)

Тогда

1.

Положив $x0 = y0 =a$ и подставив в $(1),$ получим

2a2+ 1= 6a2

Очевидно, что $a ∕∈ ℕ$ . Поэтому $x0 ⁄= y0$ . Без ограничения общности можно считать, что в этой паре $x0 >y0$ . Будем это записывать как $max(x,y )=x . 0 0 0$

2.

По условию, число $x0$ является корнем многочлена

f(x)=x2− 6y0x +y2+ 1 0

(2)

По теореме Виета, этот многочлен еще имеет корень $x2,$ причем

{ x2+ x0 = 6y0 x2x0 = y20 +1

Отсюда следует, что $x2 = 6y0− x0$ и $x2 ∈ ℕ.$ Поэтому уравнение $(1)$ имеет еще одно решение в натуральных числах $(6y0− x0,y0)$

Это означает, что для многочлена $(2)$ справедливы равенства

f(x0)= f(6x0 − y0)= 0

Заметим, что

f(y0)= y20 − 6y20 + y20 + 1< 0

Поэтому число $y0$ лежит между корнями многочлена $(2),$ а именно:

x0 >y0 >6y0− x0

Следовательно,

max(6y0− x0,y0)= y0 < max(x0,y0)

Итак, для любого решения $(x0,y0)$ существует другое решение, у которого максимальный элемент окажется меньше. Таким образом, мы можем строить новые решения, у которых максимальный элемент становится все меньше. Но при этом этот максимальный элемент, постоянно уменьшаясь, остается натуральным числом, что невозможно. Пришли к противоречию. Значит, исходное уравнение $(1)$ решений в натуральных числах не имеет.

Ответ: решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#72039

Обозначим через $a n,m$ число, полученное записью подряд всех натуральных чисел от $n$ до $m,$ здесь $n$ и $m$ — натуральные числа, причем $n >m ≥ 1.$ Так, например, число $a4,2 =432,$ а число $a11,7 =1110987.$ Докажите, что среди таких чисел есть число, делящееся на $2022.$

Источники: Межвед-2022, 11.7 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наверное, конкретные m и n мы не предъявим, а нужно как-то построить их. Тогда полезно поискать какие-то свойства таких чисел. Подумайте, что мы можем сказать про разность a(m,1)-a(n,1)...

Подсказка 2

Из определения этих чисел следует, что это будет a(m,n+1)*10ⁿ. Тогда, если a(m,1)-a(n,1) поделится на 1011, то и a(m,n+1)*10ⁿ поделится на 1011. Найдутся ли такие m и n?

Подсказка 3

Найдутся! Действительно, если чисел a(k,1) бесконечно много, то существуют два числа a(m,1) и a(n,1) такие, что их остатки при делении на 1011 совпадают. Это значит, что a(m,n+1)*10ⁿ делится на 1011⇒a(m,n+1) делится на 1011. Осталось только придумать что-то с четностью. Когда число a(m,n+1)- четное?

Подсказка 4

Когда n- нечетное! Подумайте, сможем ли мы найти такую пару a(m,1) и a(n,1), где m и n- оба нечетные, и завершите решение!

Показать доказательство

Рассмотрим числа вида $a n,1$ , где $n$ — нечётное. Так как чисел указанного вида бесконечно много, то среди них найдутся два числа $a n,1$ и $ak,1,n> k,$ имеющие одинаковые остатки от деления на $2022.$ Тогда разность $an,1− ak,1$ делится нацело на $2022.$ При этом $n−k an,1 − ak,1 =an,k+1⋅10$ и число $an,k+1$ является чётным. Так как $2022 =2 ⋅1011$ и числа $1011$ и $n−k 10$ взаимно просты, то число $an,k+1$ делится нацело на $1011,$ а следовательно, и на $2022.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#71961

Зафиксируем 10 натуральных чисел $n ,n ,...,n 1 2 10$ и обозначим через $n$ их сумму $n= n + ⋅⋅⋅+ 1$ $n . 10$ Предположим теперь, что на доске в строчку записаны $n$ чисел $a1,...,an,$ каждое из которых равно либо 0, либо 1. Эти числа (в том порядке как они записаны) разбивают на 10 групп:

a◟1,..◝.,◜an1◞,a◟n1+1,..◝.◜,an1+n2◞,...,a◟n1+⋅⋅⋅n9◝+◜1,...,an◞ n1 n2 n10

Группу назовем ненулевой, если в ней содержится хотя бы одна 1. В результате разбиения, в зависимости от того какие числа $a,...,a 1 n$ были взяты изначально, можно получить то или иное число ненулевых групп. Нас будут интересовать такие наборы $a ,...,a , 1 n$ которые при указанном разбиении дают четное число ненулевых групп. Докажите, что число таких наборов $a1,...,an$ (где ненулевых групп будет четно) находится формуле:

n−1 1 n n n 2 +2 ⋅(2 1 − 2)⋅(2 2 − 2)⋅...⋅(210 − 2)

Источники: Межвед-2022, 11.6 (см. www.academy.fsb.ru)

Показать доказательство

Искомое число наборов посчитаем, суммируя количество наборов с заданным числом $k$ ненулевых групп:

При $k= 0$ такой набор единственный;
При $k= 2$ их $∑ ni nj 1≤i<j≤10(2 − 1)⋅(2 − 1);$
При $k= 4$ уже $∑ ni nj nl ns 1≤i<j<l<s≤10(2 − 1)⋅(2 − 1)⋅(2 − 1)⋅(2 − 1);$
$...$
При $k= 10$ в итоге $(2n1 − 1)⋅(2n2 − 1)⋅...⋅(2n10 − 1).$

Определим многочлены

σ (x ,...,x )= 1 0 1 10

σk(x1,...,x10)= ∑ xi⋅...⋅xi ,1 ≤k ≤10 1≤i1<⋅⋅⋅<ik≤10 1 k

Как известно из правила раскрытия скобок, такая сумма всевозможных многочленов это сумма по всем наборам и она равна

∑ 0≤k≤10σk(x1,...,x10)= (x1+1)⋅...⋅(x10+ 1),

Если мы сложим эту сумму с суммой таких же многочленов от отрицательных аргументов, то многочлены с нечётными индексами взаимноуничтожатся:

∑ σk(x1,...,x10)+ ∑ σk (−x1,...,−x10) = 0≤k≤10 0≤k≤10

∑ = 2 . σk (x1,...,x10) 0≤k≤10,k..2

Используем полученные результаты:

∑ n n 2N = 2 ..σk (2 1 − 1,...,2 10 − 1)= 0≤k≤10,k .2

n1 n10 n1 n10 = (2 − 1+ 1)⋅(...2 − 1+ 1)+(−(2 − 1)+ 1)⋅...⋅((−2 − 1)+ 1)

2N =2n1+...+n10 + (−2n1 + 2)⋅...⋅(−2n10 + 2)

что и требовалось:

N =2n−1+ 1⋅(2n1 − 2)⋅...⋅(2n10 − 2) 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#71644

Найдите количество цифр в десятичной записи числа $2100,$ если известно, что десятичная запись числа $2200$ содержит $61$ цифру.

Источники: Межвед-2022, 11.2 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумайте, каким образом мы можем оценить количество разрядов в числе через степень десятки.

Подсказка 2

Если 10^n <= a < 10^(n+1), тогда число содержит в себе n+1 разрядов. Тогда для 2^200 можно записать 10^60 <= 2^200 < 10^61. Подумайте, как с помощью этого мы можем получить аналогичное неравенство для 2^100.

Подсказка 3

Возведем 10^60 <= 2^200 < 10^61 в степень 1/2.

Показать ответ и решение

Чтобы понять сколько цифр содержится в записи натурального числа $a$ , надо найти такое неотрицательное целое число $n,$ что будет справедливым неравенство $n−1 n 10 ≤a <10 .$ Такое число $n,$ очевидно, единственно. (Например, $2 3 10 ≤ 992<10 ,$ поэтому в записи числа 992 три цифры.)

Итак, надо найти такое целое неотрицательное $n,$ что $n 100 n+1 10 ≤ 2 < 10 .$ По условию $60 200 61 10 ≤ 2 < 10 .$ Возведя обе части в степень $1 2,$ получим $30 100 30+1 10 ≤ 2 < 10 2.$ Значит, в десятичной записи числа $100 2$ содержится 31 цифра.

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#46232

Решите уравнение $2x+ 2y = 24t$ в целых числах.

Источники: Межвед-2020, отборочный тур, 11.4 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Сделаем вот такой хитрый ход - вынесем 2^x за скобку! Тогда слева у нас степень двойки * неччетное число, а справа как бы разложить 24?

Подсказка 2!

В точности, это 3^t*8^3t. Попробуйте из четности установить соответствие между множителями!

Показать ответ и решение

Если $x =y,$ то

x+1 t 2 = 24

Если $t>0,$ то правая часть кратна трём, а левая — нет. Значит, $t≤ 0.$ Если $t< 0,$ то вновь придём к противоречию $3−t = 23t−(x+1)$ : кратное трём число не может быть никакой степенью двойки, в том числе нулевой. Остаётся только вариант $t= 0,$ в котором есть решение $x =− 1= y.$

Рассмотрим теперь случай $x⁄= y.$ Не умаляя общности будем считать $x <y.$ Тогда можно записать $y = x+v,v > 0.$ Исходное уравнение запишется в виде

2x⋅(1 +2v)= 24t

Если $t<0,$ то в равенстве $3−t⋅(1+ 2v)= 23t−x$ левая часть делится на $3,$ а правая нет. Поэтому может быть только $t≥ 0.$ Но тогда $x >0,$ ведь иначе в равенстве $2x ⋅(1+ 2v)=24t$ справа стоит натуральное число, а слева деление нечётного натурального числа на степень двойки (то есть в итоге получается дробь, а не натуральное число).

В итоге обе части равенства

2x⋅(1 +2v)= 24t

являются натуральными числами, поэтому по основной теореме арифметики должны быть равными степени вхождения простых множителей, откуда

v t x =3t и 1+2 =3

Очевидные решения $(v,t)∈ {(1,1),(3,2)}$ . Получаем тройки $(3,4,1),(6,9,2)$ , которые дают $4$ решения в силу симметрии $x,y$ . Пусть теперь $v,t> 2$ , тогда $2v ≡ 0 4$ , то есть $3t− 1≡ 0 4$ . Отсюда $t$ чётно. Но если $t$ кратно двум, то $t= 2k,k∈ℕ$ и $3t− 1= (3k − 1)(3k+ 1)$ . Если $k ≥2$ , то хотя бы одно из этих чисел не является степенью двойки, что невозможно. Тогда $k≤ 1 ⇐⇒ t≤2$ , откуда в этом случае решений нет.

Ответ:

$(−1,−1,0),(3,4,1),(4,3,1),(6,9,2),(9,6,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#79623

Найдите какие-нибудь целые числа $A$ и $B$ , для которых выполняется неравенство:

√- 0,999< A+ B 2 <1

Источники: Межвед-2019, 11.4 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что для целых x и y выражение вида (x + y√2)ⁿ для всех n будет принимать тот же вид, то есть (x + y√2)ⁿ = x₁ + y₁√2, где x₁ и y₁ тоже целые числа.

Подсказка 2

Если найти такие целые x и y, что (x + y√2)ⁿ будет больше нуля, но меньше 0.001 при каком-то n, то 1 - (x + y√2)ⁿ будет в нужном нам по условию диапазоне. Какие x и y могут подойти для этого?

Подсказка 3

При x = -1 и y = 1 мы сможем получить число в промежутке от 0 до 0.001, так как √2 – 1 < 1/2. Тогда какой степени n точно будет достаточно, чтобы (√2 - 1)ⁿ было меньше 0,001?

Подсказка 4

√2 – 1 < 1/2, значит, (√2 - 1)¹⁰ < (1/2)¹⁰ < 1/1024 < 1/1000. Остается найти (√2 - 1)¹⁰ и вычесть данное число из единицы!

Показать ответ и решение

Заметим, что если число вида $x+ y√2,$ где $x,y ∈ℤ,$ возвести в целую неотрицательную степень $n,$ то (по биному Ньютона) вновь получим число такого же вида, т.е.

√- n √- (x+ y 2) = x1+y1 2,

где $x1$ и $y1$ опять же целые. Положительное число $√2− 1,$ очевидно, меньше $1$ . Значит, возводя его в достаточно большую степень, можно получить число сколь угодное малое. Найдем такое натуральное $n,$ что $(√2 − 1)n < 0,001.$ Поскольку $(√2− 1)n < 1-, 2n$ то, очевидно, достаточно взять $n = 10,$ так как

1-- --1- --1- 210 <1024 < 1000 = 0,001

Остается возвести $√- 2− 1$ в $10−$ ю степень. Находим:

√- √- ( 2− 1)2 = 3− 2 2

√- 4 √-2 √- ( 2− 1) =(3− 2 2) =17− 12 2

(√2− 1)8 =(17− 12√12)2 = 577 − 408√2

√- √- √- √- √- √- ( 2− 1)10 = ( 2− 1)8⋅( 2− 1)2 =(577− 408 2)⋅(3− 2 2)= 3363 − 2378 2

Таким образом, $√- 10 0,999< 1− ( 2 − 1) <1.$ Поэтому можно взять

A= −3362, B = 2378

Замечание. Приведенная в решении оценка довольно грубая. На самом деле, уже $√- 8 √- ( 2− 1)= 577− 408 2 ≈0,000867< 0,001.$ Но при этом $√- 7 ( 2− 1) ≈0,002 >0,001.$

Ответ:

$A = −3362, B = 2378$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#88132

Найдите все чётные натуральные числа $n$ , у которых число делителей (включая 1 и само $n$ ) равно $n 2$ . (Например, число 12 имеет 6 делителей: $1,2,3,4,6,12$ .)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подумаем, а что мы вообще знаем о количестве делителей? Быть может, можно его как-то оценить, чтобы ограничить n?

Подсказка 2

Заметим, что делители делятся на пары, в каждой из которых хотя бы одно числа не превосходит sqrt(n). Как тогда оценить количество делителей сверху?

Подсказка 3

Количество делителей н превосходит 2*sqrt(n)! Что тогда можно сказать про n?

Подсказка 4

n не превосходит 16! Осталось лишь понять, какой вид имеет число при разложении на простые и понять, какие степени простых могут в него входить ;) А чему равно количество делителей?

Подсказка 5

Количество делителей равно произведению степеней, в которых простые числа входят в n, увеличенных на единицу!

Показать ответ и решение

Если $d$ — делитель числа $n$ , то $n d$ — тоже делитель числа $n$ . Хотя бы одно из этих двух чисел не превосходит $√n$ . Поэтому число делителей не превосходит $√- 2 n$ .

По условию число делителей равно $n 2.$ Следовательно, $√- n≤ 4 n =⇒ n≤ 16.$

Разложим число $n$ на возможные простые множители:

a b c d n =2 ⋅3 ⋅5 ⋅7 ≤16

Ясно, что тогда $a≤ 3,b≤ 1,c≤1,d≤ 1,$ но из условия на количество делителей

n (a+ 1)(b+1)(c+ 1)(d+ 1)= 2

следует, что в разложении числа $n 2$ нет 5 и 7, потому что каждая из четырёх скобок меньше 5. Окончательно получаем

n a−1 b (a +1)(b+ 1)= 2 = 2 ⋅3

При $b= 0$

a+ 1= 2a−1

несложно понять, что единственным решением является $a =3 =⇒ n= 8.$

При $b= 1$

a+1 =2a−2⋅3 =⇒ a≥ 2

единственным решением является $a= 2 =⇒ n =12.$

Ответ: 8 и 12

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#73687

Найдите все четные натуральные числа $n,$ у которых число делителей (включая $1$ и само $n$ ) равно $n. 2$ (Например, число $12$ имеет $6$ делителей: $1,2,3,4,6,12.$ )

Показать ответ и решение

Все делители числа $n$ разбиваются на пары $(d,n),d ≤ n . d d$ Заметим, что $d≤ √n,$ поскольку $n = d⋅ n≥ d2. d$ Но тогда понятно, что количество таких пар не превосходит $√ - [ n],$ а количество делителей $n$ — не больше $√- 2[n].$ В данном случае нам хватит оценки $√- 2 n.$

По условию количество делителей равно $n 2.$ Следовательно, получим неравенство $n √ - 2 ≤ 2 n.$ Решая его в натуральных числах, получаем, что $n ≤16.$ Перебирая чётные $n,$ находим подходящие $n= 8$ и $n= 12.$

Ответ:

$8,12$

Предыдущий раздел

Следующий раздел