Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
где 
и 
— натуральные числа.
Источники:
Подсказка 1
У нас есть уравнение второй степени относительно x и y в натуральных числах. В таких случаях бывает полезно рассмотреть его как квадратное относительно одной из переменной. Что мы можем сказать про это уравнение относительно x?
Подсказка 2
Если y- натуральное число, то все коэффициенты этого уравнения целые числа. Тогда, чтобы x был целым, необходимо, чтобы четверть дискриминанта была полным квадратом. Может ли такое быть?
Подсказка 3
D/4=8y²-1. Тогда должно существовать целое t такое, что t²=8y²-1. Какие тогда ограничения, связанные с остатками, накладывается на t?
Подсказка 4
t² должен давать остаток -1 при делении на 8. Но может ли такое быть? Переберите квадраты всех остатков при делении на 8 и убедитесь, что это невозможно!
Пусть пара натуральных чисел 
удовлетворяет исходному уравнению
| (1) |
Тогда
- 1.
-
Положив
и подставив в 
получим
Очевидно, что
. Поэтому 
. Без ограничения общности можно считать, что в этой паре 
. Будем это
записывать как 
- 2.
-
По условию, число
является корнем многочлена
(2) По теореме Виета, этот многочлен еще имеет корень
причем
Отсюда следует, что
и 
Поэтому уравнение 
имеет еще одно решение в натуральных числах
Это означает, что для многочлена 
справедливы равенства
Заметим, что
Поэтому число 
лежит между корнями многочлена 
а именно:
Следовательно,
Итак, для любого решения 
существует другое решение, у которого максимальный элемент окажется меньше. Таким образом,
мы можем строить новые решения, у которых максимальный элемент становится все меньше. Но при этом этот максимальный элемент,
постоянно уменьшаясь, остается натуральным числом, что невозможно. Пришли к противоречию. Значит, исходное уравнение 
решений
в натуральных числах не имеет.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
