Если то

Если то правая часть кратна трём, а левая — нет. Значит, Если то вновь придём к противоречию : кратное трём число не может быть никакой степенью двойки, в том числе нулевой. Остаётся только вариант в котором есть решение

Рассмотрим теперь случай Не умаляя общности будем считать Тогда можно записать Исходное уравнение запишется в виде

Если то в равенстве левая часть делится на а правая нет. Поэтому может быть только Но тогда ведь иначе в равенстве справа стоит натуральное число, а слева деление нечётного натурального числа на степень двойки (то есть в итоге получается дробь, а не натуральное число).

В итоге обе части равенства

являются натуральными числами, поэтому по основной теореме арифметики должны быть равными степени вхождения простых множителей, откуда

Очевидные решения . Получаем тройки , которые дают решения в силу симметрии . Пусть теперь , тогда , то есть . Отсюда чётно. Но если кратно двум, то и . Если , то хотя бы одно из этих чисел не является степенью двойки, что невозможно. Тогда , откуда в этом случае решений нет.