Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра решением неравенства
является отрезок
Подсказка 1
Перед нами парабола — что можно сказать про её график? Куда направлены ветви такой параболы?
Подсказка 2
Нужно разобраться с условием на f(2) и f(3): какими должны быть эти значения, чтобы решением был именно отрезок [2; 3]? Ещё, конечно, можно поставить условие на дискриминант, но может оно нам и не необходимо?
Рассмотрим множество функций
При каждом фиксированном это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. При этом она может выглядеть как (1) (2) или (3)
Для того, чтобы решением неравенства являлся отрезок необходимо, чтобы парабола выглядела как (2), то есть необходимо выполнение следующих условий:
Заметим, что при неравенство выполняется, так как оно равносильно Следовательно, получаем
Замечание.
Первое условие системы можно считать избыточным в том смысле, что дискриминант автоматически положителен при условии поскольку квадратный трехчлен имеет два корня и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра число 3 заключено между корнями уравнения
Подсказка
У вас есть парабола. Куда направлены её ветви? Для наглядности, можете нарисовать рисунок и посмотреть: какое ограничение на f(3) надо наложить, чтобы точка x = 3 заключалась между корнями?
Рассмотрим функцию
Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх и которая должна пересекать ось абсцисс в двух точках. Чтобы выполнялось условие задачи, нужно, чтобы парабола выглядела так:
Значит, необходимо:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких неравенство
выполняется при всех ?
Если то неравенство становится линейным:
Это неравенство выполнено при всех поэтому нам подходит.
Если то парабола будет иметь ветви, направленные вверх. Тогда неравенство выполняется не для всех (при )
Если то парабола будет иметь ветви, направленные вниз. Рассмотрим дискриминант этого квадратичного трехчлена
- 1.
-
Если то парабола находится ниже оси абсцисс. Тогда неравенство выполнено при любых в частности, при всех
Решая квадратное неравенство получаем
- 2.
-
Если то неравенство будет выполнено при всех , если вершина параболы будет удовлетворять условию
То есть
Условие на вершину будет выполнено только для корня дискриминанта, равного
- 3.
-
Если то неравенство будет выполнено при всех , если вершина параболы будет удовлетворять условию а также
Эти условия задаются системой:
Решая систему, получим
В итоге, получаем ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких оба корня уравнения
больше трех?
Подсказка 1
Нарисуем график! Мы знаем, что это парабола ветвями вверх. Какие необходимые и достаточные условия нужно наложить на график, чтобы оба корня нашего уравнения были больше 3?
Подсказка 2
Абсцисса вершины параболы должна быть правее 3; дискриминант больше нуля; значение в точке 3 положительно
Подсказка 3
У нас получилась система из трёх уравнений относительно а, осталось лишь решить её и получить область возможных значений параметра!
Рассмотрим параболу Её ветви направлены вверх. Зададим при помощи графика условия, эквивалентные тому, что оба корня больше
Получим систему:
Подставим выражения для дискриминанта, абсциссы вершины и значения в точке
Решение системы:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Придумайте какую-нибудь систему из двух уравнений с двумя неизвестными и , решениями которой были бы все такие пары целых чисел , которые удовлетворяют системе неравенств
Других решений у системы быть не должно.
Замечание. Уравнения системы должны быть компактными выражениями (без знаков суммирования, троеточий и т.п.), в записи которых, помимо чисел и собственно неизвестных и , разрешается использовать скобки, знак , стандартные арифметические операции и элементарные функции из школьной программы.
Покажем, что система
является подходящей. Обозначим систему неравенств за . Покажем, что любая пара целых чисел, удовлетворяющих является решением.
Действительно, пусть верно, тогда каждое из подкоренных выражений числителей неотрицательно, а каждый из числителей обращается в ноль, поскольку числа целые.
Теперь покажем, что никакая из других пар не является решением. Пусть — решение, тогда следовательно, — целое и , следовательно, — целое. Кроме этого, , а значит, , откуда верно первое неравенство системы Аналогично получаем, что верно второе неравенство системы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при которых неравенство
имеет единственное решение, если
Подсказка 1
Работать одновременно и с иксами, и с несколькими функциями не очень хочется. Кроме того, мы можем заметить в условии одинаковые части, например, x² + 324 и f(x) - a. Какими двумя заменами можно привести данное нам неравенство к неравенству от двух функций?
Подсказка 2
Пусть u(x) = √( x² + 324), а v(x) = f(x) – a. В какую совокупность превращается наше неравенство после преобразования, и что мы можем сказать про число решений каждого выражения в данной совокупности?
Подсказка 3
После подстановки наших функций и приведению неравенства к общему знаменателя получится неравенство, которое будет равносильно совокупности u(x) = v(x) или v(x) < 0.
Подсказка 4
Неравенство v(x) < 0 не может иметь единственного решения. Значит, наша задача сводится к тому, чтобы найти a, при которых уравнение a = f(x) - √( x² + 324) имеет единственное решение. На какой способ решения данного параметра нам могут намекнуть квадраты и косинусы в функциях?
Подсказка 5
Функции квадрата и косинуса являются чётными, значит, и f(x) - √( x² + 324) будет четной функцией. Тогда как найти a, при которых уравнение может иметь единственное решение?
Подсказка 6
Если четная функция имеет положительное решение, то она имеет и отрицательное решение, а значит, единственным решением может быть только если это x = 0. Следовательно, a = f(0) – 18 = -3. Теперь мы получили a, при котором число решений является гарантированно нечетным, но не показали, что решение единственно. Подставьте a = -3 в уравнение и докажите, что решение кроме x = 0 быть не может.
Подсказка 7
После подстановки мы получим уравнение f(x) + 3 = √( x² + 324). Решать такое уравнение мы не хотим и не умеем, какие еще способы можно применять в подобных случая?
Подсказка 8
Давайте воспользуемся методом оценки. Правая часть уравнения, очевидно, будет больше либо равна 18, а достигается данное значение при x = 0, остается только доказать, что f(x) + 3 при любых x будет не больше равно 18.
В обозначениях исходное неравенство примет вид
Функция непрерывна как композиция непрерывных функций, поэтому у неравенства не может быть единственное решение, так что нам подходит только случай Заметим, что никакое решение этого случая не может удовлетворять ведь тогда что невозможно.
Итак, мы переформулировали задачу и получили такую: обеспечить единственность решения уже для уравнения
Заметим, что функция чётная, поэтому и функция чётная, так что и правая часть полученного уравнения чётная. Следовательно, если уравнение имеет положительное решение, то оно имеет и отрицательное решение (и наоборот). Поэтому единственным решением может быть только Сначала подставим и найдём, при каких это значение является решением:
Теперь проверим, что при у уравнения
нет других решений, кроме Тут уже поможет метод оценки. Правая часть не меньше причём равенство достигается только при А вот левая часть не больше 18, потому что
так как
ведь по неравенству треугольника
Итак, при действительно единственное решение, при других значениях единственность невозможна.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет рациональное решение . Здесь, - целая часть числа .
Источники:
Положим . Тогда уравнение принимает вид . Нужно найти все целочисленные значения , при которых существует рациональное решение .
При решений нет. Рассмотрим вначале случай , т.е. . Тогда поскольку при любом натуральном
то можем считать, что в представлении числа и натуральные. Значит, числа и имеют одни и те же простые делители.
Пусть - общий простой делитель этих чисел, тогда
где и - натуральные. Исключая из левых частей уравнений этой системы, получаем
Значит - натуральное, а -делитель 9 , т.е. . Поэтому
где и - натуральные и . Так как
a не делится на 3 , то и .
Для отрицательных решение проводится почти аналогично. Положим . Тогда исходное уравнение будет записываться в виде:
Случай очевиден, поскольку решение . Пусть . Аналогично предыдущему показывается, что в представлении числа и натуральные. Опять предположив, что - общий простой делитель этих чисел, получим
и также сделаем вывод, что . Поэтому
где и - натуральные и . Так как
а не делится на 3 , то и или , но последнее уравнение не имеет натуральных решений.
Поэтому все решения описываются уравнениями: и , решив которые приходим к ответу.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра неравенство
имеет хотя бы одно отрицательное решение?
1) . Тогда наше неравенство имеет вид , которое, очевидно, решений не имеет.
2) . Построим графики и . График есть полуокружность с центром в точке в начале координат и радиусом График — прямая. Оба этих график представлены на рисунке:
Решением неравенства будут все точки, при которых график находится выше графика , причем, согласно условию задачи, среди решений должно быть хотя бы одно отрицательное. Это будет в том и только том случае, если прямая будет проходить ниже точки Последнее будет иметь место, если Итак, нам осталось решить неравенство .
Случай 1.
Случай 2
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения при каждом из которых уравнение
имеет решения и все решения этого уравнения положительные.
Подсказка 1
Подумайте, всегда ли это уравнение будет квадратным, если нет, то когда не будет?
Подсказка 2
Если перед нами точно квадратное уравнение, то необходимо гарантировать наличие корней в целом – какое условие нужно учесть для этого?
Подсказка 3
Если у квадратного уравнения есть корни, то можно расписать для них теорему Виета и подумать, какие условия нужно наложить на сумму и произведение корней, чтобы выполнялось условие задачи.
Данное уравнение квадратного типа и вырождается в линейное при Рассмотрим этот случай отдельно. Тогда уравнение примет вид
откуда следовательно, данное значение нам подходит.
Пусть Тогда уравнение квадратное и дискриминант
откуда
Для того, чтобы оба корня квадратного уравнения были положительны, необходимо, чтобы их сумма и произведение были положительны. Следовательно, по теореме Виета:
В ответе не забудем рассмотренный ранее случай
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При всех решите уравнение
Подсказка 1
Просят решить при всех a. Уравнение на первый взгляд квадратное, но при всех ли а?
Подсказка 2
При а = 0 получается линейное уравнение относительно х, его совсем легко решить. Пусть теперь а ≠ 0. Перед нами точно квадратное уравнение, а когда оно не имеет решений?
Подсказка 3
Когда дискриминант отрицателен! Посчитайте его и скажите, при каких а уравнение не имеет решений. А если дискриминант неотрицательный, то все мы прекрасно знаем формулу для корней уравнения. Просто выразите их!
При уравнение примет вид , откуда .
Пусть теперь . Тогда уравнение является квадратным, его дискриминант . При дискриминант неотрицателен, поэтому
Если же , то и уравнение не имеет корней.
Если , то
если , то
если , то решений нет.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При всех значениях параметра решите уравнение
Дискриминант квадратного уравнения равен Рассмотрим три возможных случая: дискриминант равен нулю, больше или меньше нуля.
При уравнение имеет единственное решение, равное
При уравнение не имеет решений.
При уравнение имеет два решения:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности радиусов и касаются прямой в точках и . Пусть — точка пересечения этих окружностей, наиболее удалённая от . Докажите, что радиус описанной окружности треугольника не зависит от положения окружностей.
Обозначим и за и соответственно. Выберем на окружности радиуса произвольную точку По теореме об угле между касательной и хордой
По теореме синусов для треугольника
Аналогично для другой окружности и
Теперь записываем теорему синусов для треугольника обозначив радиус описанной окружности это треугольника за
Перемножим данные равенства
Итак, не зависит от положения окружностей, он зависит только от их радиусов.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти все значения параметра , при каждом из которых из неравенства
следует неравенство
Первое решение.
Поймём, что данное следствие реализуется, если множество решений первого неравенства полностью содержится в множестве решений второго. Посмотрим, как выглядят эти множества решений.
Решим второе неравенство
Теперь рассмотрим решение первого неравенства в зависимости от
При Видно, что
Значит, подходят.
При Видно, что
Значит, подходит.
При Посмотрим как должны располагаться множества на числовой прямой
Из этого понимаем, что нужные будут удовлетворять условию
Решаем систему с учётом, что получаем
В итоге, объединив все случаи, получаем _____________________________________________
Второе решение.
Введем плоскость . В ней решением неравенства при конкретном будет пересечение прямой с областью, которая задается неравенством. То, что одно уравнение является следствием другого, означает, что пересечение прямой с множеством, задаваемым вторым неравенством, будет полностью содержать в себе пересечение прямой с множеством, задаваемым первым неравенством.
Неравенство задает область "под параболой" .
Неравенство представим в виде равносильной совокупности:
Эта система на плоскости представляет собой вертикальную прямую и область, лежащую "ниже"прямой и "левее"c
Теперь проанализируем решения неравенств при каждом .
1 случай.) .
При таких значениях первое неравенство не имеет решений. Значит, любое другое неравенство будет его следствием.
2 случай.) .
Решением первого неравенство будет , а решением второго . Т.е. второе неравенство является следствием первого.
3 случай.) .
Как мы видим из рисунка, существуют точки "внутри"параболы, которые не принадлежат области второго неравенства. Т.е. второе неравенство не будет следствием первого.
4 случай.) .
При таких значениях все решения первого неравенство лежат внутри множества решений второго. Т.е. второе неравенство —- следствие первого.
5 случай.) .
При таких значеиях среди решений первого неравенства есть решения . Но у второго неравенства таких решений быть не может. Т.е. второе неравенство не является следствием первого.
Итого получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких уравнение
равносильно уравнению
Заметим, что является корнем первого уравнения, следовательно, при нужных значениях он будет корнем и второго уравнения. Подставив во второе уравнение, получим
Значит, если ситуация, описанная в задаче, и возможна, то только для данных значений Сделаем проверку, подставив их.
Пусть тогда первое уравнение примет вид
А второе —
Заметим, что удовлетворяет второму уравнению. Проверим, удовлетворяет ли он первому
не является корнем первого, поэтому данное нам не подходит.
Пусть тогда первое уравнение примет вид
А второе —
Заметим, что удовлетворяет второму уравнению. Проверим, удовлетворяет ли он первому
не является решением первого, поэтому данное нам не подходит.
Пусть тогда первое уравнение примет вид
А второе —
При во втором уравнении можно поделить левую и правую часть на получим
Но поэтому левая часть не более 2, значит, она никак не может быть равна 3. Из этого понимаем, что решений, кроме быть не может.
Теперь рассмотрим первое уравнение. Докажем, что у него есть решение, отличное от При поделим левую и правую часть на
Сделаем замену где
Рассмотрим правую часть как функцию
Она непрерывна, при этом и значит, на интервале есть корень данной функции. Что и требовалось доказать.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
(a) Заметим, что поэтому решения неравенства — это Тогда является необходимым условием, если его множество решений содержит (иначе найдутся такие что неравенство неверно, а условие верно). Ясно, что иначе не имеет решений. Возведем неравенство в квадрат:
Перенесем влево и разложим по разности квадратов:
Тогда решения этого неравенства — это так как Так как это множество должно содержать то получаем систему неравенств:
Решаем оба неравенства
Решения этой системы:
(b) Так как то неравенство имеет множество решений
Условие является достаточным для если его множество решений содержится в множестве
Заметим, что
Тогда по теореме Виета корни этого квадратного трехчлена и Тогда решения неравенства — это Так как это множество должно содержаться в имеем систему
Тогда получаем то есть
(a)
(b)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары такие, что любая пара , удовлетворяющая уравнению
удовлетворяет уравнению
Исходя из условий, нам нужно подобрать такие чтобы
Значит, при подходящих второе равенство в частности должно быть верно для точек и т.к. они удовлетворяют первому равенству, подставив их, получим систему
Следовательно,
Подставив значение в первое уравнение системы, получим
Мы показали, что если ситуация, описанная в задаче, и возможна, то только для Проверим
Подходит. Значит, — ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдём сначала подходящие значения для каждого утверждения по отдельности.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Заметим, что точно не является корнем данного уравнения, поэтому проверка после нахождения корней не нужна. Квадратное уравнение не имеет корней, когда дискриминант отрицателен, тогда
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(b) Выделим полный квадрат в подкоренной выражении
Значит, нужно, чтобы модуль либо был равен 0, либо раскрылся со знаком минус. Это происходит в случае
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(c) Заметим, что и Значит, если является решением данной системы, тогда тоже является решением. Следовательно, чтобы решение было единственно, то данные решения должны совпадать, а это возможно только, когда Подставим это значение в исходную систему
Теперь мы поняли, что все кроме нам не подходят. Осталось сделать проверку для
Из первого уравнения видно, что а из второго видно, что Следовательно, Подставив в систему, получим Значит, будет единственным решением, т.е. подходит.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Теперь отметим на числовой прямой, когда верно каждое из утверждений.
Видно, что под условия задачи подходят
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны высказывания:
Являются ли эти высказывания эквивалентными? Какое из них является необходимым условием для другого (а какое — достаточным)? Какое из этих неравенств естественно считать следствием другого неравенства?
Так как неравенство из утверждения имеет множество решений а неравенство из утверждения имеет множество решений и эти множества не совпадают, то неравенства не эквивалентны.
Так как то из следует (то есть для любого удовлетворяющего верно заметим, что наоборот это неверно).
неэквивалентны, из следует
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Область на плоскости, ограниченная двумя параболами и имеет площадь 32. Вертикальная прямая разбивает её на две равновеликие части. Найти и .
Подсказка 1
Площади, графики, да тут всё намекает на определённый интеграл, а чтобы его найти надо посмотреть на модуль разности графиков, именно модуль, потому что площадь должна быть не отрицательной!
Подсказка 2
Нам сказано, что прямая x = 1 разбивает график на 2 равновеликие части, а парабола сама по себе фигура довольно симметричная, не можем ли мы что-то сказать про точку x = 1 для параболы?
Подсказка 3
Верно, это абсцисса вершины параболы, а мы умеем находить её через коэффициенты параболы, остаётся только посчитать определённый интеграл и получить условие на q, и задача будет уничтожена!
Обозначим данные параболы и пусть они пересекаются в точках с абсциссами
Ограниченная ими площадь (над одним графиком и под другим) равна модулю разности площадей под графиками на отрезке А это по формуле Ньютона-Лейбница считается как
Заметим, что полученный интеграл равен площади под графиком параболы на отрезке . По условию прямая делит эту площадь на две равновеликие. Значит, — абсцисса вершины этой параболы. С одной стороны, она равна а с другой стороны, Тогда находим
Теперь запишем данное в условии значение площади и получим уравнение на оставшийся параметр:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра существует прямая, касающаяся графика функции в двух точках? Для каждого такого значения параметра найдите уравнение соответствующей прямой.
Подсказка 1
Что означает касание? Какую систему нам нужно решать? Сколько корней у неё должно быть?
Условие, что прямая вида касается графика означает равенство функций и равенство производных в точке касания:
Нас интересует, когда эта система имеет ровно корня. Заметим, что система эквивалентна
То есть должна существовать прямая , которая касается графика .
При ее производная монотонная функция, а значит, имеет не более одного решения, тогда и вся система имеет не более одного решения.
При можно заметить, что касательные в точках локального минимума (нашли их как корни производной ) имеют одинаковый коэффициент наклона , а также в этих точках значение функции совпадает в силу чётности. Тогда прямая будет касательной сразу к двум точкам (только к двум точкам, потому что в точке касательная ; в других же точках коэффициент наклона касательной не ).
Возвращаясь к изначальным обозначениям, получаем . То есть искомая касательная это .
при , прямая