Отметим центр параллелограмма Он лежит на средней линии трапеции, поскольку Продлим до пересечения с и в точках и соответственно. Заметим, что и а значит потому что Также отметим, что Теперь видно, что по первому признаку, а значит у них равные высоты и проведённые к и В силу равнобедренности трапеции Но тогда а вместе с этим Следовательно, что и требовалось.

Первое решение.

В силу параллельности

Отложим от точки отрезок

Тогда — параллелограмм (т. к. а

Значит, как односторонние углы при секущей .

Найдем угол

Получили, что Тогда — равнобедренный, в котором .

В итоге,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отложим на прямой за точку отрезок равный

Т.к. можем получить

Треугольник равнобедренный, т.к. поэтому

Получаем, что

Следовательно, значит, Но мы знаем, что поэтому — параллелограмм. Значит,

Удвоим , получим точку .

Рассмотрим треугольник . В нем — высота и медиана одновременно, а значит, по признаку этот треугольник равнобедренный. Тогда по определению.

Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, так как по условию, по построению, как вертикальные. Тогда как соответственные.

как противоположные стороны параллелограмма.

.

Обозначим точки пересечения и с диагональю как и соответственно, тогда Рассмотрим треугольник заметим, что — средняя линия, т.к. и Следовательно Аналогично получаем, что Значит, является параллелограммом.

Проведём диагональ — точка пересечения и т.к. — параллелограмм, то делит и пополам.

Но следовательно делит и пополам. — точка пересечения диагоналей четырехугольника делящая их пополам, значит, — параллелограмм.

Проведём диагональ и отметим её середину

и — середины и соответственно, следовательно, и — средние линии треугольников и соответственно, тогда

Т.к. и и — внешний угол треугольника поэтому

Получаем

Следовательно, треугольник равносторонний, тогда

Пусть трапеция с основанием на котором выбрали точку Тогда достаточно доказать, что и — параллелограммы. Достроим треугольник до параллелограмма Тогда периметры треугольников и равны, поэтому равны периметры треугольников и Следовательно, так как иначе один из треугольников и лежит внутри другого и их периметры не могут быть равны. Поэтому — параллелограмм. Аналогично доказывается, что — параллелограмм. Тогда и будет серединой основания и к тому же

Первое решение. Пусть — точка пересечения прямых и Углы и равны как накрестлежащие при параллельных прямых и секущей Аналогично равны углы и следовательно, треугольники и подобны по двум углам, кроме этого их соответственные стороны и равны, а значит и сами треугольники равны, то есть равны отрезки и что влечет равенство отрезков и

Наконец, в прямоугольном треугольнике отрезок является медианой, проведенной из прямого угла, а значит равен отрезку Аналогично что завершает доказательство.

Второе решение. Пусть и — середины отрезков и соответственно. Тогда — средняя линия треугольника Значит, и

Получаем, что и — параллелограммы, а, следовательно, и треугольники и равны по сторонам. Т.к. и — медианы в прямоугольных треугольниках и то и

(треугольник — р/б) (треугольник — р/б, ) Получаем, что по признаку что и доказывает утверждение задачи.

Отложим на луче отрезок Тогда четырёхугольник — параллелограмм, поэтому . Используя условие, получаем значит, треугольник — равнобедренный, Далее, поскольку получаем Так как прямая является биссектрисой угла и, тем самым, серединным перпендикуляром к основанию равнобедренного треугольника Поэтому точка K равноудалена от концов отрезка что и требовалось доказать

Лемма. Пусть и — середины сторон и четырехугольника . Тогда

Доказательство. Пусть — середина диагонали Тогда По неравенству треугольника для треугольника имеем:

после подстановки полученных равенств:

что завершает доказательство.

Вернемся к решению задачи. Пусть и — середины сторон и По лемме Ясно, что длина медианы, проведенной из вершины при неостром угле, не превосходит половины стороны, к котором она проведена, следовательно и Осталось заметить, что по неравенству ломанной верно неравенство

Подставляя полученные неравенства имеем

домножив данное неравенство на получим требуемое.

Пусть — точка пересечения прямых и точка — точка пересечения прямых и Из параллельности прямых и следует равенство углов

Достаточно показать, что что эквивалентно тому, что прямая касается окружности , то есть тому, что верно равенство произведений отрезков секущих а в силу , равенство

Осталось заметить, что, в силу подобия треугольников и

а в силу подобия треугольников и

Получаем

Домножив обе части равенства на произведение знаменателей, получим требуемое.

Используем свойство биссектрис получим

Вписанный четырёхугольник с таким свойством называется гармоническим. Аналогично из этого равенства можно получить пересечение биссектрис двух других углов на диагонали

Проведём биссектрису угла пусть она пересекла диагональ в точке тогда по свойству биссектрисы

Но ведь получили выше, что

Так что в итоге

Отсюдаc следует, что точка лежит на биссектрисе угла

Пусть — середина Заметим, что — гармонический. Действительно, достаточно воспользоваться двумя подобиями Значит, будет в нём симедианой, откуда следует равенство углов (поскольку — медианы). Далее можно использовать

Отсюда и следует вписанность

Поскольку

то

Так как

Обозначим

Тогда

Следовательно,

Так как точки и являются серединами соответствующих сторон, то

Складывая, получим, что

Значит, данные отрезки можно параллельно перенести так, чтобы образовался четырёхугольник. Поскольку а то полученный четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, прямые и параллельны и четырёхугольник — параллелограмм, откуда следует, что отрезки и параллельны и равны. Но тогда стороны и параллельны и равны, то есть — параллелограмм.

равнобедренный, поэтому Накрест лежащие углы равны: . Значит,

Повернём картинку на угол относительно точки так, чтобы точка перешла в точку Из доказанного выше равенства углов следует, что прямая при этом повороте перейдёт в прямую Точка при этом перейдёт в такую точку на прямой что расстояние от неё до точки равно Таких точек две. Одна из них точка а вторая — какая-то точка

Значит, или как односторонний угол. Это один из ответов.

Посмотрим теперь на точку равнобедренный, причём равен тому из углов и который является острым (случай прямого угла исключается значениями углов и которые даны в каждом их вариантов). Если тупой, точка очевидно лежит на луче и Если же острый, и точка находится на луче При этом во всех вариантах т.е. поэтому точка лежит ближе к чем , т.е. попадает на отрезок Значит,

Лемма.

Если в треугольнике точка является центром вписанной окружности, то .

Доказательство.

Перейдём к решению задачи.

По лемме

Значит, лежат на одной окружности. Аналогично, лежат на одной окружности. Значит,

Аналогично можно доказать, что остальные углы четырехугольника равны , и значит, — прямоугольник.

Замечание.

Предложенный факт широко известен в узких олимпиадных кругах под названием Японская теорема о вписанном четырёхугольнике. Но в задаче без доказательства пользоваться им нельзя, потому что суть задачи в том, чтобы доказать этот факт. А вот леммой про угол между биссектрисами на олимпиаде пользоваться можно без доказательства.

Пусть — середина стороны Продлим луч до точки такой, что Так как диагонали четырёхугольника пересекаются в своих серединах, это параллелограмм; отсюда получаем, что точка лежит на прямой и

Отметим, что — параллелограмм ( равен и параллелен поэтому искомый С другой стороны, из вписанности имеем

Кроме того, — средняя линия и параллельна сторонам и откуда получаем Значит, треугольники и подобны по двум углам. Тогда то есть

Введём масштаб длин на чертеже так, чтобы отрезок имел длину тогда и а Мы знаем один из углов треугольника и две его стороны; теперь можно воспользоваться любым из известных методов, чтобы вычислить остальные его элементы (включая искомый угол Например, опустим высоту на прямую Так как отрезки и окажутся по разные стороны от прямой В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна а угол напротив катета равен то есть сам катет равен Теперь ясно, что прямоугольный треугольник равнобедренный, так как отношение гипотенузы к катету в нём равно Получаем

Первое решение.

Заметим, что линия центров перпендикулярна общей хорде данных окружностей, а значит параллельна прямым и Пусть - середина отрезка - середина отрезка Тогда и, поскольку прямые и параллельны. Далее, и при этом поэтому Заключаем, что четырёхугольник — параллелограмм по определению, следовательно Кроме того, поскольку отрезки и равны, то по двум катетам будут равны прямоугольные треугольники и следовательно, равны их гипотенузы и являющиеся также радиусами наших окружностей, что и требовалось доказать

Первое решение.

Предположим противное, радиусы окружностей и описанных около треугольников и соответственно, различны.

При параллельном переносе на отрезок перейдет в отрезок окружность перейдёт в окружность а прямая перейдёт в себя. Причём не может совпадать с поскольку их радиусы различны. Поэтому линия центров совпадающая с прямой перпендикулярна общей хорде Таким образом, прямая параллельна общей хорде окружностей и и, следовательно, перпендикулярна прямой Но тогда параллелограмм является прямоугольников, что противоречит условию задачи. Следовательно, радиусы окружностей и равны.

Первое решение.

Проведем и

Тогда — параллелограмм, поэтому

Так как — вписанный четырехугольник и

Так как — параллелограмм, следовательно

Второе решение.

Через точку проведем и

Так как — параллелограмм,

по двум углам и

Так как

Учитывая, что по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

Из условия мы можем найти площади и . Используем известный факт (см. рельсы Евклида), что : действительно, если — расстояние между основаниями трапеции (между параллельными прямыми и ), то . Тогда .