Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела четырёхугольники
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68708

В трапеции ABCD  длины диагонали BD  и основания BC  равны. Точка X  на луче BD  такова, что BX  =CX.  На прямой CX  взята точка Y  такая, что AB =BY.  Известно, что          ∘        ∘
∠DBC  = α ,∠ABD  =β .  (При этом         ∘
α +β ⁄= 90 и   ∘
180 − α − β >α)  Найдите градусную меру угла ∠BYC.

Источники: ИТМО-2023, 11.6 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Множество равных отрезков да еще и параллельные прямые в трапеции. В такой картинке больше всего хочется найти все равные углы, которые есть, давайте так и поступим.

Подсказка 2

Если вы правильно воспользуетесь равнобедренными треугольниками и параллельностью AD и BC, то станет понятно, что ∠XCB = ∠XDA. Еще мы знаем, что BD = BC, то есть точки D и C находятся как бы на одной окружности с центром в точке B. Что хочется сделать в такой конструкции?

Подсказка 3

Давайте повернем рисунок против часовой стрелки относительно точки B на угол равный альфа. Куда в таком случае перешли точка C и прямая CX?

Подсказка 4

Точка C перейдет в точку D, а прямая CX в прямую AD. Вспомните, что BA=BY, и подумайте, куда в таком случае могла перейти точка Y. Рассмотрите все возможные случаи и найдите в каждом случае градусную меру угла ∠BYC

Показать ответ и решение

PIC

△BXC  равнобедренный, поэтому ∠XCB  =∠XBC  = α.  Накрест лежащие углы равны: ∠BDA = ∠DBC = α  . Значит, ∠XCB  = ∠BDA.

Повернём картинку на угол α  относительно точки B  так, чтобы точка C  перешла в точку D.  Из доказанного выше равенства углов следует, что прямая CX  при этом повороте перейдёт в прямую DA.  Точка Y  при этом перейдёт в такую точку на прямой AD,  что расстояние от неё до точки B  равно AB.  Таких точек две. Одна из них точка A,  а вторая — какая-то точка A′.

Значит, ∠BYC = ∠BAD  или ∠BYC = ∠BA′D.  ∠BAD  = 180∘− ∠ABC = 180∘− α− β,  как односторонний угол. Это один из ответов.

Посмотрим теперь на точку A′.  △BAA ′ равнобедренный, причём ∠BAA ′ равен тому из углов ∠BAD  и 180∘− ∠BAD,  который является острым (случай прямого угла исключается значениями углов α  и β,  которые даны в каждом их вариантов). Если ∠BAD  тупой, точка A′ очевидно лежит на луче DA  и ∠BA ′D= 180∘− ∠BAD =α +β.  Если же ∠BAD  острый, ∠BA′A= ∠BAA ′ = ∠BAD = 180∘ − α − β  и точка A′ находится на луче AD.  При этом во всех вариантах 180∘− α − β > α,  т.е. ∠BA′A> ∠BDA,  поэтому точка A′ лежит ближе к A,  чем D  , т.е. попадает на отрезок AD.  Значит, ∠BA ′D = 180∘ − ∠BA ′A = α+ β.

Ответ:

 α +β,180∘ − α − β

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!