Обозначим . Тогда

Выразив и подставив во второе уравнение, получим

Причем не подходит, так как . Итого, . Делая обратную замену, получаем

Запишем ОДЗ:

Преобразуем систему к виду

Сделаем замену: После преобразований получаем систему

Из первого уравнения системы выразим

Из третьего уравнения выразим

Подставим во второе уравнение системы, получим после преобразований уравнение

При получаем но соответствующие значения не удовлетворяют ОДЗ. При получаем следовательно,

Из второго уравнения следует, что , так как корень неотрицателен.

Пусть первое уравнение выполняется из-за того, что . Условие равносильно . Решение не подходит, а при получаем:

Пусть теперь , но , и . Тогда , но такой вариант не подходит под второе уравнение.

При остальных система равносильна системе:

При решением будет , при получим уравнение:

Откуда , тогда . Последняя пара не удовлетворяет условию .

Обозначим за , тогда систему можно переписать в виде:

Представим первое неравенство, как тогда получаем

Откуда получаем оценку

При этом равенство достигается в точке области

(являющейся точкой пересечения прямых ).

Рассмотрим второе уравнение системы. Правая часть не больше 13, так как

Попробуем оценить левую часть второго уравнения. Рассмотрим которое не меньше так как где В итоге имеем

Прибавим к последнему неравенству тогда получим

Из последнего выражения делаем вывод, что левая часть второго уравнения системы не меньше В итоге, получили, что левая часть не меньше а правая часть не больше Следовательно, чтобы достигалось равенство необходимо, чтобы Подставим полученные значения и в первое уравнения системы для нахождения

Сделаем замену

Заметим, что Запишем систему

Рассмотрим, когда числитель становится равным 0

Из последнего уравнения получаем совокупность решений

С учетом ограничений получаем следующие

Тогда сделаем обратную замену

Вычтем из первого уравнения второе.

В первом случае подставляем в систему и получаем

что невозможно.

Во втором случае подставляем в систему и получаем

или же

Если то — не подходит под первое уравнение системы.

Рассмотрим любое Тогда и , то есть любая тройка вида является решением системы. Искомое выражение может принимать любое положительное значение.

Запишем ОДЗ:

Запишем уравнения в системе в один логарифм:

Подставляя в и получаем:

Поделим первое уравнение на второе и получим:

Домножим второе уравнение на и сложим с первым, тогда получим:

Тогда из последнего уравнения следует, что Проверяем полученный ответ:

При условии того, что обе переменные не равны нулю, имеем:

Значит:

Пусть

Тогда получим:

Докажем, что наибольший корень реализуется. Действительно, из обоих уравнений получаем подставляя Они подходят, так как наши преобразования были равносильны с учетом того, что

Первое решение.

Если тройка является решением, то решениями являются . В силу этой цикличности системы мы можем не умаляя общности считать

Вычтем из первого уравнения третье и получим

Из следует а из следует

Таким образом, равенство выше может выполняться только в случае одновременно обращения трёх неравенств в равенства:

При подстановке в любое из уравнений системы получаем

Второе решение.

Заметим, что в любой тройке, являющейся решением, все переменные одного знака: они либо все неотрицательны, либо все неположительны. Это следует из того, что нечётная степень числа имеет тот же знак, что и само число. Действительно, среди переменных две имеют одинаковый знак, тогда правая часть уравнения, содержащего эти переменные, имеет тот же знак, значит и левая часть, а с ней и третья переменная имеют тот же знак. Кроме того, если одна из переменных равна то левая часть соответствующего уравнения равна значит сумма двух чисел одного знака в правой части тоже равна поэтому каждое из этих чисел равно

Внесём эту тройку в ответ. Тогда дальше можно считать, что все переменные не равны При умножении решения системы на снова получаем решение, следовательно, дальше можно считать, что а потом внести в ответ тройку с противоположными знаками.

Сложим все три уравнения и перенесем правую часть в левую:

Теперь рассмотрим функцию Нетрудно понять, что при значении функции отрицательно, а при положительно, а также при оно равно Отсюда следует, что все переменные не могут быть одновременно больше или одновременно меньше Так как иначе ведь в левой части стоит сумма трёх чисел одного знака, поэтому они все должны равняться откуда следует, что при этом

Итак, остались два случая, и

Если тогда — это не решение.

Если — это тоже не решение.

Таким образом доказано, что других решений, кроме уже найденных, нет.

Обозначим , Так как

то исходные уравнения можно записать в виде

Рассмотрим первое уравнение системы. Возьмём производную от левой части, получим

Т.е. в левой части стоит возрастающая функция, а в правой части число, поэтому уравнение имеет не более одного решения. С другой стороны, любой многочлен нечётной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Отсюда следует, что уравнение имеет ровно одно решение.

Аналогично рассмотрим второе уравнение:

Значит, аналогично с первым уравнением, второе уравнение имеет ровно одно решение. Если во втором уравнении сделать замену то оно принимает вид

Это эквивалентно первому уравнению. Это означает, что корни уравнений противоположны, следовательно, их сумма равна нулю. Тогда

Давайте вспомним, что для любого числа верно: Тогда сложим все эти три уравнения, применив это тождество, и получим:

Теперь вычтем из полученного уравнения каждое уравнение системы:

Теперь воспользуемся следствием из тождества:

Так как дробная часть любого числа лежит в полуинтервале то получим следующие неравенства:

Тогда получим, что Откуда получим, что Тогда

Разложим каждое уравнение в произведение скобок

Решение последней системы:

Если система имеет решение то решением также является пара Единственное решение может иметь вид только тогда проверим, когда подходит:

Теперь нужно выяснить, при каких из этих значениях пара со значением будет единственным решением исходной системы.

При получим , тогда во второе подойдёт , то есть не подходит.

Если же , то из первого , где равенство достигается только при . Осталось заметить, что из второго уравнения , потому подойдёт только и .

Заметим, что

Тогда для каждого имеем откуда

Окончательно получим

Значит, для каждого выполнено

откуда

Отсюда несложно получаем, что тогда один из равен а все остальные равны

Несмотря на то, что при виде условия хочется плакать, можно домножить первое уравнение на , второе на и сложить все три уравнения, чтобы избавиться от и выделить

В первом случае получаем систему

В зависимости от знака оно принимает значения , откуда и получаем второе уравнение. Рассмотрим оба случая

• . Но тогда левая часть неотрицательная, а правая — отрицательна, решений нет.
• . Получаем решение , далее сократим на скобку , получим . Заметим, что в левой части монотонная функция, поэтому решений не более одного. Нетрудно угадать, что подойдёт только .

Итак, , при этом (нам подошёл второй случай), откуда .

Вернёмся к случаю . Отсюда получаем

Из первого уравнения , подставляем

• , в этом случае решений нет.
• , здесь . Отсюда сразу же находим . Наконец, найдём .

Возводя второе уравнение в квадрат, получим

Если , то второе уравнение верно, а в первом получаем

Иначе . На ОДЗ , второе уравнение выполнено, поэтому подставим это в первое

Поскольку , то , поэтому остаётся только одно решение

Вычтем из второго уравнения удвоенное первое:

Если подставить в первое уравнение, увидим, — любое, так как

Если подставить получим

Перепишем систему в виде и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

Запишем систему равенств для коэффициентов:

Следовательно,

Обозначим и сложим уравнения системы:

Для положительных чисел справедливо неравенство об обратных: Поэтому левая часть не меньше отсюда При каждое из слагаемых равно отсюда и При получается система:

Решая последнее уравнение, получаем, что