Тождественные преобразования —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тождественные преобразования

Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами и составление уравнений

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Подтемы раздела алгебра

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88066

Сравните числа $(tg1∘+ tg 2∘ +...+ tg44∘)$ и 22.

Показать ответ и решение

Сгруппируем крайние члены

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ (tg1 +tg2 + ...+tg44 )=(tg1 +tg44 )+...+ (tg22 + tg 23 )

По формуле суммы тангенсов

∘ ∘ ∘ ∘ --sin45∘--- ---sin45∘--- (tg1 +tg44)+ ...+ (tg22 + tg23 )= cos1∘cos44∘ +...+cos22∘ cos23∘

Заменим синус от 45 градусов на равный ему косинус и воспользуемся формулой произведения косинусов

cos45∘ cos45∘ 2cos45∘ 2cos45∘ cos1∘cos44∘-+...+cos22∘-cos23∘ = cos43∘+-cos45∘ + ...+ cos1∘-+cos45∘

Осталось заметить, что функция $f(x)= cosx$ убывает на отрезке $π [0;2]$ , а значит, верны неравенства $cosn∘ > cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , следовательно, верны неравенства $cosn∘+ cos45∘ > 2cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , т.е. каждое слагаемое в сумме меньше 1. Таким образом, вся сумма меньше 22.

Ответ:

$(tg1∘+tg2∘+ ...+ tg44∘)< 22$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85545

Определим $f(x)= -(2x-− 1)6x-. 22x−1+ 32x−1$ Вычислите сумму

( -1-) ( -2-) (-3--) (2023) f 2024 +f 2024 + f 2024 + ...+ f 2024

Показать ответ и решение

Заметим, что

(2− 2x−-1)61−x (2x-− 1)61−x-⋅62x−1 f(1− x)= 21−2x+ 31− 2x =− 22x−1 +32x−1 = −f(x)

Тогда в нашем выражении все слагаемые, кроме $(1012) f 2024 ,$ разбиваются на пары с суммой $0.$ При этом также понятно, что $( ) () ( ) f 12001224 =f 12 =− f 12 ,$ откуда $( ) f 10201224 = 0.$ То есть вся сумма равна $0.$

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#83299

Дана гипербола $y = 3+5∕x$ . Рассматриваются 300 прямоугольников: одна вершина в начале координат, другая на гиперболе при всех $x= n$ , $n$ от 1 до 300 включительно. Найти площадь некоторой области, которая содержится только в одном из прямоугольников.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По своей сути задача геометрическая, а самая важная часть геометрической задачи – рисунок. Постройте график функции f(x) = 3 + 5/x и обозначенные прямоугольники. А теперь посмотрите, что за площади нас просят найти.

Подсказка 2

Каждый прямоугольник будет иметь вверху прямоугольную часть, которая принадлежит только ему. Как можно вычислить её площадь?

Подсказка 3

Как произведение сторон прямоугольника! У него одна сторона равна единице, а вторая разности значений функции в соседних натуральных аргументах. Только вот рассмотрите отдельно последний прямоугольник: у него одна из сторон лежит просто на оси абсцисс.

Подсказка 4

Остаётся только записать и вычислить сумму всех площадей. Поверьте, она удобно сворачивается!

Показать ответ и решение

Обозначим $3+ 5 x$ через $f(x)$ .

У каждого прямоугольника от первого до трёхсотого есть область, содержащаяся только в нём. Эта область является прямоугольником с шириной 1 и высотой $f(n)− f(n +1)$ (если считать $f(301)= 0$ , ведь у последнего прямоугольника нижнее основание лежит уже на оси абсцисс)

Поэтому сумма площадей таких областей равна

f(1)− f(2)+f(2)− f(3)+...+ f(299)− f(300)+f(300)− 0= f(1)= 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#82835

Известно, что

2 2 2 a − bc=b − ac= c − ab⁄= 0

Какие значения может принимать выражение

(a+b)(b+-c)(c+-a) abc ?

Показать ответ и решение

Случай $a =b= c$ противоречит, например, условию $a2− bc⁄=0.$ Поэтому среди чисел есть пара различных. Не умаляя общности (можно переобозначить переменные), $a⁄= b.$

Преобразуем равенство $2 2 a − bc= b − ac$ из условия:

2 2 a − b = bc− ac

(a − b)(a +b)= c(b− a)

(a − b)(a +b+ c) =0

Так как $a⁄= b,$ то $a+ b+c =0.$ Получаем, что сумма любых двух переменных противоположна третьей, можно изящно подставить всё в искомую дробь:

(a-+b)(b+-c)(c+-a)-= (−-c)⋅(−a)⋅(−-b)-=− 1 abc abc

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#82704

Числа $x,y,z$ таковы, что $xyz = 1$ . Вычислите значение выражения

---1---- ---1---- ---1---- 1+ x+ xy + 1+ y+ yz + 1+z +xz

Показать ответ и решение

Преобразуем дробь, используя условие $xyz = 1$

1 xyz xyz xz 1-+y+-yz = xyz+-y+-z = y(xz+1-+z) = 1+-z+-xz

Преобразуем ещё одну дробь, используя то же самое условие

---1----= ---xyz----= ---xyz----= ---yz---- 1+ x+ xy xyz+x +xy x(yz+ 1+ y) 1+ y+yz

Применим условие $xyz = 1$ для дроби выше ещё раз и заменим число $1$ в знаменателе

---yz--- ----yz----- ---yz----- ---z---- 1+ y+ yz = xyz+y +yz = y(xz+ 1+ z) = 1+z +xz

Теперь преобразуем исходное выражение, с учетом всех предыдущих преобразований

1 1 1 z xz 1 1+ z+xz 1+-x+-xy-+ 1+-y+yz-+1-+z+-xz = 1-+z+-xz + 1+-z+-xz + 1+-z+xz-= 1+-z+xz-= 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#82698

Упростите выражение (в ответе не должно быть многоточия и знаков суммирования):

( 2)( 3 6) ( 9 18) ( 3n 2⋅3n) 1 +3+ 3 ⋅1+ 3 + 3 ⋅ 1+ 3 +3 ⋅...⋅1 +3 + 3

Показать ответ и решение

Вспомним формулу сокращенного умножения:

3 3 2 2 a − b = (a − b)(a + ab+b )

Умножим и разделим наше выражение на $2= (3− 1)$

2 3 6 9 18 3n 2⋅3n 3−-1 2 3 6 3n 2⋅3n (1+3 +3 )(1+ 3 + 3)(1 +3 + 3 )...(1+ 3 + 3 )= 2 (1+ 3+ 3)(1+3 + 3 )...(1+ 3 + 3 )

По формуле, приведённой выше, имеем

3− 1 n n 1 n n -2--(1 +3+ 32)(1+ 33+36)...(1+33 + 32⋅3 )= 2(33− 1)(1+ 33 +36)...(1+33 + 32⋅3 )

Заметим, что каждую следующую тоже можно будет свернуть. Например, после второго применения формулы получится

1 (33− 1)(1+ 33 +36)...(1 +33n + 32⋅3n)= 1(39− 1)(1+ 39 +318)...(1+ 33n +32⋅3n) 2 2

Аналогичным образом свернем все скобки и получим

(1+ 3+ 32)(1+33+ 36)(1+ 39 +318)...(1+ 33n +32⋅3n)= 1(33n+1 − 1) 2

Ответ:

$1 (33n+1 − 1) 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#82697

Пусть $a$ , $b$ , $c$ — попарно различные числа. Докажите, что выражение

2 2 2 a (c− b)+b (a − c)+ c(b− a)

не равно нулю.

Показать доказательство

Предположим противное: пусть

2 2 2 a(c− b)+ b(a− c)+ c (b− a)= 0

Докажем, что

(a− b)(b− c)(c− a) =0

Раскрываем скобки и группируем:

(a− b)(b− c)(c− a)= abc− ac2 − bc2+c2b− a2b+ a2c+ba2− abc= a2(c− b)+b2(a − c)+c2(b− a)= 0

Таким образом, какие-то два из чисел $a,b,c$ равны, что противоречит условию.

Значит,

a2(c− b)+ b2(a− c)+ c2(b− a)⁄= 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#82696

Докажите, что если действительные числа $a$ , $b$ , $c$ удовлетворяют условию

1 1 1 ---1--- a + b + c = a +b+ c

то сумма каких-то двух из них равна нулю.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Приведем левую дробь к общему знаменателю:

1 1 1 bc+ ac +ab a + b + c =--abc---

Теперь по правилу пропорции имеем равенство:

(a +b+ c)(bc +ac+ ab)= abc

Раскрываем в левой части скобки, получаем:

abc+a2c+ a2b+ b2c +abc+b2a+ c2b+ c2a +abc= abc

В левой и правой части $abc$ взаимно уничтожится, тогду получится уравнение:

2 2 2 2 2 2 ac+ a b+b c+b a+ cb+ ca +2abc= 0

Заметим, что левая часть равна $(a+b)(b+ c)(a+ c).$ Тогда получаем равенство

(a+b)(b+ c)(a+ c) =0

Из которого напрямую следует, что сумма каких-то двух из наших чисел равна нулю.

Второе решение.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются данные числа

P (x)= (x− a)(x− b)(x − c)

Пусть при раскрытии скобок мы получаем

P (x)= x3+ px2 +qx+ r

Тогда по теореме Виета

( |{ a +b+ c= −p |( ab+ bc+ca= q abc= −r

Из условия после приведения к общему знаменателю получаем

(a +b+ c)(ab+bc+ ca)= abc

то есть

−pq = −r

Тогда $P (x)$ можно представить в виде

x3+ px2 +qx+ pq = x2(x+ p)+q(x+ p) =(x2+ q)(x+p)

Так как мы знаем про наличие трёх корней $a,b,c,$ то $q < 0$ и $2 x + q = (x − t)(x+ t),$ где $√--- t= −q.$

Не умаляя общности, $a= t,b =−t,c= −p.$ В итоге $b= −a,$ поэтому требуемое верно.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#82686

При каких целых $m$ число $m4+ 4$ является составным (то есть имеет хотя бы 3 натуральных делителя)?

Показать ответ и решение

Выделим в исходном выражении полный квадрат: прибавим и вычтем $4m2$ :

4 22 2 2 2 2 2 2 m + 4= (m ) +4m +2 − 4m = (m + 2)− 4m

Так как $4m2 =(2m)2,$ используем формулу разности квадратов:

2 2 2 2 2 (m + 2) − (2m) = (m + 2− 2m )(m + 2+ 2m)

В каждой скобке тоже выделим полный квадрат:

2 2 2 2 (m +2 − 2m)(m + 2+ 2m)= ((m − 1) + 1)((m + 1)+ 1)

Найдем, при каких $m$ значение выражения - простое число. Заметим, что хотя бы одна из полученных скобок должна быть равна $1,$ а иначе произведение не будет простым. Решим отдельно два уравнения. Для первой скобки:

(m − 1)2+ 1= 1

(m − 1)2 =0

m = 1

Для второй скобки:

2 (m + 1) + 1= 1

2 (m + 1) =0

m =−1

Теперь проверим, что при $m= 1$ и $m = −1$ получаются простые числа:

При $m =1$ имеем $14+ 4=5$
При $m =− 1$ имеем $(−1)4+4 =5$

Итак, получили, что для $m= ±1$ выражение будет принимать простое значение. Тогда для всех остальных целых $m$ выражение будет составным.

Ответ:

при любых целых, кроме 1 и -1.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#82684

Учитель написал на доске 10 чисел. Вася увеличил каждое из чисел на 1 и сумма их квадратов не изменилась. Как изменится сумма квадратов чисел, если каждое увеличить на 2?

Показать ответ и решение

Пусть написанные на доске числа — $a ,a ,...,a . 1 2 10$

Тогда по условию задачи имеем следующее тождество:

2 2 2 2 2 2 (a1+ 1) +(a2+1) + ...+(a10+1) = a1+a2+ ...+ a10

Раскрываем скобки и в левой части группируем отдельно квадраты и удвоенные числа, получаем следующее уравнение:

2 2 2 2 2 2 (a1+ a2+ ...+a10)+2(a1+ a2 +...+ a10)+ 10= a1+a2+ ...+ a10

Суммы квадратов в левой и правой частях взаимно уничтожаются.

2(a1+a2 +...+ a10)+ 10= 0

Откуда получаем:

a1 +a2+ ...+ a10 =− 5

В задаче необходимо найти изменение суммы квадратов после прибавления $2$ к каждому числу, то есть значение выражения:

(a1+2)2+ (a2+ 2)2+ ...+ (a10+ 2)2− (a21+a22+ ...+ a210)

Раскроем скобки и сгруппируем отдельно квадраты и учетверенные попарные произведения:

(a21+a22+ ...+ a210)+ 4(a1+ a2+ ...+a10)+40− (a21+a22+ ...+ a210)

Сумма квадратов взаимноуничтожится, а сумму чисел мы знаем. Подставляем в полученное выражение:

4(a1+ a2+ ...+a10)+40= 4⋅(−5)+40 =−20

Ответ: -20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#81373

Для каждого натурального числа $n$ положим

-(−3)n-- p(n)= 3n+ 317

Вычислите сумму

p(1)+ p(2)+ ...+p(33)

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.3 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда у нас есть такая вот телескопическая сумма, то что мы обычно любим делать? Либо преобразовывать каждый элемент, либо брать их по группам и говорить, что в каждой группе сумма хорошая. Но обычно группы из двух чисел. Какие тогда два числа мы обычно берем из таких сумм?

Подсказка 2

Сумма первого и последнего равна (-1)^n. А может быть, так работает и для суммы k-ого с начала и k-ого с конца? Проверьте это и запишите ответ.

Показать ответ и решение

Заметим, что для $1≤ n≤ 17$

-(−3)n-- -(−-3)34−n-- -(−1)n-- (−1)n317−n n p(n)+p(34 − n)= 3n+ 317 + 334−n+ 317 = 1+ 317−n + 1+ 317−n =(−1)

Тогда

(−1)17 − 1 p(1)+ p(2)+ ...+ p(33)= (− 1)1+ (− 1)2+ ...(−1)16+ --2-- =-2-

Ответ:

$− 1 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#80764

Из множества $M,$ состоящего из семи подряд идущих натуральных чисел, выбираются шестёрки попарно различных чисел такие, что сумма чисел в каждой из шестёрок — простое число. Пусть $p$ и $q$ — две из таких сумм. Найдите множество $M$ , если $2 2 p − q = 792.$

Источники: Физтех - 2024, 11.4 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте скажем, что первое число - это а и поймем, чему равна сумма во всех шестерках и какие из них могут быть простыми, а какие нет.

Подсказка 2

Тогда у нас получаются суммы шестерок - это числа от 6a + 15, до 6a + 21. Из за делимости на 2 или 3, подходят только числа 6a + 19 и 6a + 17. А это значит, что это ровно наши числа p и q. Остается решить квадратное уравнение на а и найти ответ(подставить значения p и q в равенство).

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — наименьшее натуральное число из $M.$ Тогда

M = {a, a+ 1,a+ 2,...,a +6}

Сумма всех $7$ чисел равна

6⋅7 7a+ 1+ 2+ ...+6 =7a+ 2 =7a+ 21

Переберем сумму шестёрок чисел:

. 6a+21 не подходит, так как.. 3 .. 6a+20 не подходит, так как. 2 6a+19 нет противоречий 6a+18 не подходит, так как ... 3 6a+17 нет противоречий .. 6a+16 не подходит, так как. 2 6a+15 не подходит, так как ... 3

Тогда, $p= 6a+ 19, q =6a+ 17.$ По условию задачи $p2 − q2 = 792$ или то же самое, что и

2 2 (6a+19) − (6a+ 17) = 792 =⇒ 2(12a+ 36)=792

2(a+ 3)=396 =⇒ a+3 =33 =⇒ a= 30

Следовательно, $M$ может быть только множеством

{30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}

Проверка: $6a +19= 199$ — простое, $6a+ 17= 197$ — простое.

Ответ:

${30, 31, 32, 33, 34, 35, 36}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#80746

Пусть длины сторон треугольника являются натуральными числами $a,b,c$ , и одна из его высот равна сумме двух других. Доказать, что число $2 2 2 a + b+ c$ является точным квадратом (натурального числа).

Источники: Всесиб-2024, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно как-то записать условие на то, что одна высота равна сумме двух других. Через что тогда можно выразить высоту, чтобы равенство не хотелось сразу стереть из-за его громоздкого вида?

Подсказка 2

Верно, через площадь треугольника и сторону. Тогда наше равенство будет выглядеть как 2S/a = 2S/b + 2S/c => 1/a = 1/b + 1/c => bc = ab + ac. Если мы хотим сказать, что сумма квадратов сторон равна точному квадрату, то давайте подумаем какому конкретно квадрату это может быть равно(квадрат, который выражен через a,b,c).

Подсказка 3

Действительно, подходит квадрат (b + c - a)^2, ведь раскрывая скобки, мы получим, что a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac = a^2 + b^2 + c^2, так как bc = ab + ac. Что и требовалось доказать.

Показать доказательство

Пусть $S$ — площадь треугольника, а $h,h ,h a b c$ — высоты к сторонам $a,b,c$ соответственно.

Из формулы площади треугольника имеем, что

2S 2S 2S ha = a-,hb = b-,hc =-c

Без ограничения общности будем считать, что $ha = hb+hc$ . Тогда

1 1 1 a = b +c

Откуда $bc= ac+ ab$ . Но тогда $2bc= 2ac+2ab$ и можно сказать, что

a2+ b2 +c2 = a2+ b2+ c2+2bc− 2ac− 2ab= (b+ c− a)2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#79859

Неотрицательные числа $x,x ,x ,x ,x 1 2 3 4 5$ таковы, что их сумма равна сумме их квадратов. Докажите, что сумма кубов этих чисел не больше суммы их четвёртых степеней.

Показать доказательство

Введём обозначения:

A = x +x +x + x +x , B = x2+ x2+x2+ x2+ x2 C = x13+x23 +x33+ x43+ 5x3, D= x14+ x24+x34 +x44+ x54 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

Нам дано, что $A= B,$ и нужно доказать, что $C ≤D,$ т. е. что

D − C +(A − B )≥0

Выделим в этой разности слагаемые, относящиеся к переменным с одинаковыми индексами: $S =a4− a3+ (a − a2),$ и преобразуем полученное выражение: $S = a3(a− 1)− a(a− 1)= a(a− 1)2(a +1).$ Утверждение задачи теперь следует из того, что каждый множитель в этом произведении неотрицательный.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#78955

Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят $50,$ а остальные больше $50,$ но не превосходят $100.$ При этом никакие два из них не отличаются ровно на $50.$ Найдите сумму этих чисел.

Показать ответ и решение

Вычтем $50$ из каждого числа, которое больше $50.$ Получатся $50$ разных чисел, то есть числа от $1$ до $50.$ Их сумма равна $1+ 2+ ...+ 50=25⋅51,$ а сумма исходных чисел — $25 ⋅51+ 25⋅50=25⋅101.$

Ответ:

$2525$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#78953

Каждое из $2020$ положительных чисел равно сумме квадратов остальных $2019$ чисел. Найдите все эти числа.

Показать ответ и решение

Пусть наши числа равны $a,a ,...,a . 1 2 2020$ Рассмотрим разность двух соседних выражений из условия, то есть $a − a. 1 2$ Тогда почти все квадраты сократятся, кроме $2 a1$ и $2 a2.$ И того получим после разложения на скобки $(a1− a2)(a1+ a2)= 0,$ но числа у нас положительные, поэтому $a1 = a2.$ Аналогично проводя преобразования получим, что все $ai$ равны между собой. Ответ получить уже несложно.

Ответ:

Все числа равны $--1 2019$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#77403

Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала переведём задачу на математический язык. Как это будет выглядеть? Не забывайте, что условия должны выполняться одновременно.

Подсказка 2

Верно, запишем это как систему x² - y²=6 и (x - 2)² - (y-2)² = 18. Давайте теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые. Нет ли у нас похожих слагаемых у двух уравнений? Что можно естественным образом сделать?

Подсказка 3

Да, видим, что и там, и там есть x²-y². Значит, мы можем заменить во втором уравнение это выражение на 6 и преобразовать. Получим, что x-y = -3. А нам нужна сумма. Не можем ли мы теперь из первого уравнения всё найти?

Подсказка 4

Верно, первое уравнение можно разложить на скобки по формуле. Одну из скобок мы знаем и отсюда легко находим искомую сумму. Победа!

Показать ответ и решение

Пусть наши числа — $x$ и $y.$ Из условия следует система:

{ x2− y2 = 6 (x− 2)2 − (y− 2)2 = 18

Преобразуем второе уравнение системы — раскроем скобки по формуле сокращенного умножения:

2 2 x − 4x +4− (y − 4y+ 4)= 18

Раскроем скобки в этом равенстве и приведем подобные слагаемые в левой части:

x2− 4x+4 − (y2− 4y +4)= x2− 4x +4− y2+ 4y − 4= x2− y2− 4x +4y

Из первого уравнения системы $x2− y2 = 6.$ Подставляя это значение в полученное равенство, имеем:

6− 4x+ 4y = 18

Перенесем $6$ в правую часть и разделим равенство на $− 4$ :

x − y =− 3

Вернемся теперь к первому уравнению системы, в нем левую часть разложим по формуле сокращенного умножения:

(x− y)(x+ y)= 6

Теперь, подставим в это равенство $x− y = −3,$ тогда получаем:

− 3(x+ y)= 6

Разделив уравнение на $− 3,$ получаем нужное значение суммы $x+ y = −2.$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#75970

Натуральные числа $a,b,c$ таковы, что $a2+ b2 +c2 = (a− b)2+(b− c)2+ (c− a)2.$ Докажите, что $ab$ — точный квадрат.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что хочется сделать - раскрыть скобки и привести подобные) На что похоже данное выражение?

Показать доказательство

Раскроем полные квадраты и приведём подобные:

2 2 2 0 =a + b +c − 2ab − 2bc− 2ac

Заметим, что в правой части выражение, очень похожее на $(a+ b− c)2,$ чтобы получить этот квадрат, надо добавить записать $− 2ab$ как $2ab− 4ab.$ Тогда равенство превратится в $4ab=(a+ b− c)2.$ Значит, $4ab$ — точный квадрат. Но тогда и $ab$ — точный квадрат, потому что $4$ — квадрат. Получили требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#75968

Число $n$ представимо в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел, делящихся на $3.$ Докажите, что оно представимо в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел, не делящихся на $3.$

Показать доказательство

Пусть $n$ представимо в виде суммы квадратов чисел $3a,3b$ и $3c,$ то есть $n =9a2+ 9b2+ 9c2.$ Попробуем в явном виде получить нужное нам представление.

Заметим, что $2 2 2 n= (a+ 2b− 2c)+ (c+2b− 2a) + (b+ 2a+ 2c) .$ Как придумать такое представление? После недолгих попыток станет ясно, что в виде суммы квадратов двух слагаемых представить не получится, значит надо представлять в виде суммы квадратов трёх слагаемых. Далее удобно разбить $2 9a$ на $2 2 2 a ,4a ,4a$ (с другими аналогично) и распихать их по квадратам, при этом подобрав знаки так, чтобы попарные произведения при раскрытии квадратов посокращались.

Далее необходимо перебрать все варианты остатков $a,b$ и $c$ при делении на $3.$ Если все они делятся на $3,$ то $n$ кратно $81,$ противоречие. Все остальные варианты легко перебираются вручную.