Тема . Системы уравнений
Арифметические операции над системой
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела системы уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79602

Про действительные числа a,b,c  известно, что

{ ac− 2= 9b2;
  3bc− 2= a2

Найдите все значения, чему может быть равно ab  .

Источники: ОММО - 2024, задача 5 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте посмотрим на нашу систему и попробуем найти какие-то паттерны. Заметим, что и сверху, и снизу у нас коэффициент перед членами с a и b, равен 3(или 9, когда возвели в квадрат). Да и свободный коэффициент один и тот же. Что же тогда надо сделать?

Подсказка 2

Надо вычесть второе из первого. После чего, слева мы получим c(a - 3b), а справа (3b - a)(3b + a). Значит, разложили на скобочки. Значит, либо c = 3b - a, либо а = 3b. То есть, мы выразили одну переменную через другие. Что мы обычно делаем в таком случае?

Подсказка 3

Верно, мы подставляем наше выражение вместо этой переменной и решаем уже полученную систему. Остается сделать это, понять, какой случай возможен, какой нет, и чему равно искомое ab.

Показать ответ и решение

Вычтем из первого уравнения второе.

(a− 3b)c= (3b− a)(3b+ a)

(a− 3b)(c+ a+ 3b)= 0

[ c= 3b− a
  a =3b

В первом случае подставляем c= −3b− a  в систему и получаем

9b2+ 3ab+ a2+ 2= 0

(     )2
 3b+ a  + 27b2+2 =0
 2        4

что невозможно.

Во втором случае подставляем a= 3b  в систему и получаем

  2
9b − 3bc+ 2= 0

или же

a2− ac +2= 0

c= a+ 2
      a

Если a= 0,  то b= 0  — не подходит под первое уравнение системы.

Рассмотрим любое a⁄= 0.  Тогда c= a+ 2
      a  и b= a
   3  , то есть любая тройка вида (a,a + 2,a)
      a 3  является решением системы. Искомое выражение ab= a2
    3  может принимать любое положительное значение.

Ответ:

 (0,+ ∞)

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!