Уравнения —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 20. Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

20.02 Уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31262

Решите уравнение $---1--- -3--- (x− 3)2 = x− 3 +4.$

Показать ответ и решение

Сделаем замену $-1- x−3 = t,$ тогда уравнение примет вид:

2 2 t= 3t+ 4 ⇔ t − 3t− 4 = 0

Найдем дискриминант уравнения:

2 √ -- D = 3 − 4⋅(−4)= 25 ⇔ D = 5

Следовательно,

⌊ 3+-5 ⌊ || t= 2 ⌈t= 4 ⌈ 3−-5 ⇔ t= − 1 t= 2

Сделаем обратную замену:

⌊--1-- ⌊ 1 ⌊ ||x − 3 = 4 |x − 3 = 4 ⌈ x= 3,25 ⌈--1-- ⇔ ⌈ ⇔ x= 2 x − 3 = −1 x − 3 = −1

Ответ: 2; 3,25

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#45465

Решите уравнение $(x − 1)(x2+ 6x+ 9)= 5(x +3).$

Показать ответ и решение

(x− 1)(x2+ 6x+ 9)= 5(x+ 3) 2 (x− 1)(x+ 3) − 5(x+ 3)= 0 (x+ 3)((x− 1)(x + 3) − 5)= 0 2 (x +[ 3)(x + 2x− 8)= 0 x + 3= 0 x2 +2x − 8 = 0

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета:

[ x2 +2x − 8 = 0 ⇔ x= − 4 x= 2

Тогда

⌊ 2 |x= − 3 (x− 1)(x +6x +9)= 5(x+ 3) ⇔ ⌈x= − 4 x= 2

Ответ:

$− 4; −3; 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#44281

Решите уравнение $x6 = −(12− 8x)3.$

Показать ответ и решение

6 3 ( 2)3 3 x = −(12− 8x) ⇔ x = (−(12− 8x))

Так как $A3 = B3 ⇔ A = B,$ то

(x2)3 = (−(12− 8x))3 ⇔ x2 = −(12− 8x) ⇔ x2− 8x+ 12= 0

Воспользуемся теоремой Виета:

{ x1 ⋅x2 = 12 x1 +x2 =8

Тогда корни $x1 = 6, x2 = 2.$

Ответ: 2; 6

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#42120

Решите уравнения $(x2 − 25)2+ (x2+2x − 15)2 = 0.$

Показать ответ и решение

Для любого $x$ верно:

( 2 )2 ( 2 )2 x − 25 ≥ 0 и x + 2x− 15 ≥ 0

Cумма двух квадратов выражений равна 0, когда оба квадрата выражений равны 0 одновременно:

( 2 )2 ( 2 )2 {(x2− 25)2 = 0 x − 25 + x + 2x− 15 = 0 ⇔ (x2+ 2x− 15)2 = 0

Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0:

{ ( )2 { (x2− 25 = 0) ⇔ x2− 25= 0 x2+ 2x− 152 =0 x2+ 2x− 15= 0

Решим первое уравнение системы:

2 x − 25= 0 (x− 5)(x +5)= 0 [ x= 5 x= −5

Решим второе уравнение системы:

x2+ 2x− 15= 0 2 D = 4+ 4⋅15= 64= 8 −-2±-8 x1,2 = 2 [ x1 =− 5 x2 =3

Вернемся к системе:

( [ { |||| x= 5 x2− 25= 0 { [x= − 5 x2+ 2x− 15= 0 ⇔ || x= − 5 ⇔ x = −5 ||( x= 3

Ответ: -5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#41987

Решите уравнение

2 |x+ 3|= |2x + x − 5|

Показать ответ и решение

|x + 3|= |2x2+ x− 5| ⇔ (x+ 3)= ±(2x2+ x− 5) ⇔ [ [ ⇔ x+ 3= 2x2+ x− 5 ⇔ 2x2− 8= 0 x+ 3= −2x2− x +5 2x2+ 2x− 2= 0

Решим первое уравнение совокупности:

2x2 − 8 = 0 ⇔ x2− 4= 0

Воспользуемся формулой разности квадратов:

[ 2 x= 2 x − 4 =0 ⇔ (x − 2)(x+ 2)= 0 ⇔ x= − 2

Решим второе уравнение совокупности:

2 2x + 2x − 2= 0 x2+ x− 1= 0 D =1 +4 ⋅1= 5 √- x1,2 = −-1±2-5 √- x1 = -5−-1- 2 √5-+-1 x2 = − 2

Вернемся к совокупности:

⌊ [ x = 2 2x2 − 8 = 0 ||x = −√2 2x2 +2x − 2 = 0 ⇔ |⌈x = -5−21 x = − √5+1 2

Ответ:

$√ - √ - − 2; −-5+-1;--5−-1; 2 2 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#41986

Решите уравнение

2 |x + 2x + 3|=3x +45

Показать ответ и решение

{ 2 (x2+ 2x+ 3)= ±(3x+ 45) |x + 2x+ 3|= 3x + 45 ⇔ 3x+ 45≥ 0 ⇔ ([ ([ |{ x2+ 2x+ 3= 3x +45 |{ x2+ 2x+ 3− 3x − 45 =0 ⇔ x2+ 2x+ 3= − (3x +45) ⇔ x2+ 2x+ 3+ 3x +45 =0 ⇔ |(3x≥ − 45 |(x ≥ −15 ( [ |{ x2− x− 42= 0 ⇔ x2+ 5x+ 48= 0 |( x ≥− 15

Решим первое уравнение совокупности:

2 x − x− 42= 0 D = 1+ 4⋅42= 169= 132 x = 1-±13 1,2 1 x1 = 7 x2 = −6

Решим второе уравнение совокупности:

2 x + 5x+ 48= 0 D = 25 − 4 ⋅48 < 0 ⇒ уравнение не имеет корней

Вернемся к системе:

(| [x= 7 [ { x= −6 ⇔ x =7 |( x =− 6 x≥ −15

Ответ: -6; 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#41985

Решите уравнение

|1− x|+ 4x= |x|+ 15

Показать ответ и решение

Так как $|1− x|= |x − 1|,$ то

|1− x|+4x = |x|+ 15 ⇔ |x − 1|+ 4x− |x|− 15= 0

Найдем нули модулей:

1. $|x − 1|= 0 ⇔ x = 1;$

2. $|x|= 0 ⇔ x = 0.$

Раскроем модули:

( |{(x− 1)+ 4x− x− 15, если x ≥ 1 |x− 1|+4x − |x|− 15 = − (x − 1)+ 4x− x − 15, если 0≤ x< 1 |(− (x − 1)+ 4x+ x − 15, если x< 0

Рассмотрим случай $x ≥ 1:$

x− 1+ 4x− x − 15 =0 4x =16 x =4

Рассмотрим случай $0 ≤ x< 1:$

− x+ 1+ 4x− x− 15= 0 2x =14 x = 7 — не соответствует условию 0≤ x< 1

Рассмотрим случай $x < 0:$

− x+ 1+ 4x+ x− 15= 0 4x =14 x = 14 4 x = 3,5 — не соответствует условию x< 0

Значит, решением уравнения является $x= 4.$

Ответ: 4

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#41984

Решите уравнение

|x − 2|+ 3x =|x− 5|+ 18

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

|x− 2|+3x = |x− 5|+ 18 ⇔ |x − 2|+ 3x− |x − 5|− 18= 0

Найдем нули модулей:

1. $|x − 2|= 0 ⇔ x = 2;$

2. $|x − 5|= 0 ⇔ x = 5.$

Раскроем модули:

( |{ (x − 2)+ 3x= (x− 5)+ 18, если x ≥5 |x− 2|+ 3x− |x − 5|− 18= (x − 2)+ 3x= − (x − 5)+ 18, если 2 ≤ x< 5 |( −(x− 2)+3x = −(x− 5)+ 18, если x< 2

Рассмотрим случай $x ≥ 5:$

x − 2+ 3x− x+ 5− 18= 0 3x =15 x =5

Рассмотрим случай $2 ≤ x< 5:$

x − 2+ 3x+ x− 5− 18= 0 5x =25 x = 5 — не соответствует условию 2≤ x< 5

Рассмотрим случай $x < 2:$

−x +2 +3x +x − 5− 18 = 0 3x =21 x= 7 — не соответствует условию x <2

Таким образом, $x = 5$ — решение уравнения.

Ответ: 5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#41983

Найдите целочисленные решения уравнения

2 x − 3x − |x− 2|+ 1= 0

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 x2 − 3x − (x − 2)+ 1, если x − 2≥ 0 x − 3x− |x − 2|+ 1= x2 − 3x +(x − 2)+ 1, если x − 2< 0

Тогда при $x≥ 2$ уравнение примет вид

2 x − 3x − (x− 2)+ 1= 0 x2− 3x− x+ 2+ 1 =0 x2− 4x+ 3= 0 2 D = 16− 4⋅3= 4 = 2 x1,2 = 4±-2 2 x1 = 3 x2 = 1 — не соответствует условию x≥ 2

Таким образом, $x = 3$ — целочисленное решение уравнения.

Рассмотрим случай $x < 2:$

x2− 3x+ x− 2+ 1 =0 x2− 2x− 1= 0 ( √-)2 D = 4+ 4 ⋅1 = 8= 2 2 √- x1,2 = 2±-2-2- √- 2 x1 =1 + 2 — не соответствует условию x< 2 x2 = 1− √2

$√ - x= 1 − 2$ не является целочисленным решением, поэтому ответ: $x = 3.$

Ответ: 3

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#41982

Решите уравнение

|4x− 1|= 7

Показать ответ и решение

[ |4x − 1|= 7 ⇔ 4x − 1 = 7 4x − 1 = −7

Решим совокупность уравнений:

[ [ 4x= 8 ⇔ x= 2 4x= −6 x= − 1,5

Ответ:

$− 1,5; 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#41981

Решите уравнение

|2− 5x|=16

Показать ответ и решение

[ |2− 5x|= 16 ⇔ 2 − 5x = 16 2 − 5x = −16

Решим совокупность уравнений:

[ [ [ 2− 5x =16 ⇔ 5x = −14 ⇔ x = −2,8 2− 5x =− 16 5x = 18 x = 3,6

Ответ:

$− 2,8; 3,6$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#40195

Решите уравнение $(x − 2)4+ 3(x− 2)2− 10= 0.$

Показать ответ и решение

Сделаем замену:

2 t =(x− 2) , t≥ 0

Тогда:

4 2 (x− 2) = t

Решим уравнение относительно новой переменной:

2 t + 3t− 10 =0 D = b2− 4ac= 9+ 4⋅10= 49 √-- √ -- t1,2 = −b±--D--= −3±---49= −-3±-7 2a 2 2 t1 = −5 –не соответствует условию t≥ 0 t2 = 2

Получили:

(x − 2)2 = 2 2 (x− 2) − 2 = 0 (x − 2 − √2)(x − 2 +√2-)= 0 √- √ - (x− (2+ 2))(x − (2− 2))= 0

[x = 2+ √2 √- x = 2− 2

Получаем в ответе $2− √2;2+ √2$

Ответ:

$√ - √ - 2 − 2;2 + 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#38565

Решите уравнение

--3x-- --42- -7--- x + 3 − x2− 9 = 1+ 3− x

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому

(| x+ 3 ⁄=0 { |( 3−2 x ⁄=0 ⇔ x − 9⁄= 0

{ ⇔ x⁄= − 3 x⁄= 3

Вернемся к уравнению

--3x--− --42- = 1+ -7--- x + 3 x2− 9 3− x 3x (x − 3)− 42= 1 − 7(x +3) 3x2− 9x− 42= x2− 9− 7x − 21 2 2 3x − 9x + 7x− 42− x + 9+ 21 = 0 2x2− 2x− 12= 0 x2− x− 6= 0 2 D = 1 + 4⋅6= 1 +24 =25

Отсюда имеем

1 + 5 1− 5 x= --2- = 3 или x =-2--= − 2

Учитывая ОДЗ, ответ $− 2.$

Ответ: -2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#38564

Решите уравнение

--x-- x+-2- --8-- x+ 2 + x− 2 = x2 − 4

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому

(| x+ 2 ⁄=0 { |( x−2 2 ⁄=0 ⇔ x − 4⁄= 0

{ ⇔ x⁄= − 2 x⁄= 2

Вернемся к уравнению

--x--+ x+-2= --8-- x+ 2 x− 2 x2 − 4 -x---+ x+-2= -----8------ x+ 2 x− 2 (x− 2)(x+ 2) x(x− 2)+ (x+ 2)2 =8 2 2 x − 2x + x + 4x + 4− 8= 0 2x2+ 2x − 4= 0 x2+ x− 2= 0 2 D = 1 + 4⋅2= 1+ 8 =9

Отсюда имеем

−1+ 3 − 1− 3 x= --2---=1 или x= --2---= − 2

Учитывая ОДЗ, ответ $1.$

Ответ: 1

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#38562

Решите уравнение

( x2+ 2x) ( x2+ 2x) 2− ---3-- 4− ---3-- = 3

Показать ответ и решение

( x2+ 2x) ( x2+ 2x) 2− ---3-- 4− ---3-- = 3 ( ( )) ( ( )) 2⋅3− x2+ 2x 4 ⋅3− x2 +2x = 3⋅3 ⋅3 ( ( 2 ))( (2 )) 6(− x +)22x 1(2− x +)2x = 27 x2 +2x − 18 x2+ 2x + 45= 0 D = 182− 4⋅45= 324− 180 = 144 = 122

Отсюда имеем

⌊x2+ 2x = 18−12= 3 ⌈ 2 ⇔ x2+ 2x = 18+212= 15

[ x2+ 2x− 3= 0,D = 22+ 3⋅4= 4+ 12= 16 ⇔ x2+ 2x− 15= 0,D = 22+ 15 ⋅4= 4+ 60= 64 ⇔

⌊x = −22+4= 1 || −2−4 ⇔ ||x = 2 = − 3 |⌈x = −22+8= 3 x = −2−8= − 5 2

Ответ: -5, -3, 1, 3

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#22833

Решите уравнение $6 3 x = −(7x+ 10).$

Показать ответ и решение

Преобразуем $6 2 3 x =(x )$ и внесем минус под степень во втором слагаемом. Получим уравнение:

23 3 (x) = (−(7x+ 10))

Это уравнение равносильно уравнению (всегда можем извлекать корень нечетной степени из обеих частей)

2 x = − (7x +10)

Решим полученное уравнение через дискриминант:

$pict$

Получили два корня: $− 5, − 2.$

Ответ: -5, -2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Обоснованно получен верный ответ	2

Решение доведено до конца, но допущена арифметическая ошибка, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел