Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту треугольника, опущенную на меньшую из этих сторон.
Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому проведена эта высота, то
С другой стороны, если обозначить за высоту, проведенную к меньшей стороне, то
Тогда окончательно имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следовательно, с одной стороны, а с другой стороны Здесь — высота, которую нужно найти. Тогда имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике отрезок — высота, Найдите площадь треугольника
В прямоугольном треугольнике имеем:
Тогда Далее, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Тогда площадь треугольника равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Площадь в котором проведена средняя линия равна 100. Найдите сумму площадей и
Опустим перпендикуляры и на
Рассмотрим и и следовательно,
С аналогичным коэффициентом соотносятся и длины и
Таким образом:
То есть
Абсолютно аналогичным образом рассматриваем и и откуда выводим
Тогда искомая сумма площадей:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Стороны треугольника равны Найдите площадь этого треугольника.
Воспользуемся формулой Герона:
Полупериметр:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике известно, что Найдите площадь треугольника
Площадь
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см. Найдите боковую сторону треугольника. Ответ дайте в см.
Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна Тогда оснвание но с другой стороны основание
Решаем уравнение:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Периметр равнобедренного треугольника с основание равен а периметр равностороннего треугольника равен Найдите
Так как треугольник — равнобедренный с осованием то
По условию, треугольник — равносторонний. Пусть сторона этого
треугольника равняется Тогда периметр тругольника
Сторона треугольника равняется 15.
Периметр треугольника
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Площадь равнобедренного треугольника равна 90, боковая сторона равна К основанию и стороне проведены соответственно высоты и пересекающиеся в точке Найдите площадь треугольника
Так как треугольник равнобедренный, то
Тогда имеем:
Из треугольника по теореме Пифагора:
Так как — высота равнобедренного треугольника проведенная к основанию то она также является биссектрисой и медианой. Тогда по свойству биссектрисы из треугольника
Отсюда получаем
Следовательно, так как треугольник прямоугольный, то искомая площадь равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном треугольнике проведен отрезок причем и Найдите площадь треугольника если
Поскольку прямая перпендикулярна прямой то отрезок — высота тупоугольного треугольника опущенная из вершины на продолжение стороны Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике со сторонами проведена биссектриса Высота треугольника равна 2. Найдите площадь треугольника
Биссектриса делит треугольник на два треугольника, имеющие по равному углу. Следовательно, их площади относятся как произведения сторон, образующих эти углы:
Площадь треугольника равна
Найдем площадь треугольника из отношения
Сложим площади треугольников и и получим искомую площадь треугольника
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике точка делит сторону в отношении считая от вершины Найдите площадь треугольника если площадь треугольника равна 15.
Треугольники и имеют общий угол следовательно,
Пусть Тогда с учетом получаем
Значит, искомая площадь равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике даны три стороны: Найдите площадь треугольника, заключенного между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины
Пусть и — высота и биссектриса данного треугольника соответственно. По формуле Герона:
Запишем формулу площади треугольника через высоту:
Тогда
Из свойства биссектрисы треугольника:
Поэтому:
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
Слeдовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите квадрат площади треугольника если а медианы, проведенные из вершин и взаимно перпендикулярны.
Т.к. — медиана, то
Т.к. и — медианы, то точка делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда если то если то Получим систему уравнений:
Из системы находим и
Тогда:
Найдём площадь треугольника
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике — высота, Найдите расстояние от точки до прямой, содержащей отрезок
Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, следовательно, расстояние от точки до прямой, содержащей отрезок равно длине высоты
Посчитаем площадь треугольника двумя способами:
откуда следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и — середины сторон и треугольника соответственно. Найдите периметр треугольника если периметр треугольника равен 21.
Так как — средняя линия треугольника то
Найдём периметр треугольника
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Периметр треугольника равен 6. Найдите периметр треугольника, стороны которого параллельны сторонам данного и проходят через его вершины.
Пусть длины сторон треугольника равны соответственно, тогда периметр треугольника
Найдем сторону Из условия известно, что тогда можно заметить, что четырёхугольники и — параллелограммы, т. к. стороны этих четырёхугольников попарно параллельны. По свойству параллелограмма противоположные стороны попарно равны, а значит, что
Аналогично доказывается, что значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне длиной если высота, проведенная к стороне длиной равна
Т.к. площадь треугольника равна полупроизведению высоты и стороны, к которой эта высота проведена, то с одной стороны площадь равна
Пусть — высота, которую нужно найти. Тогда с другой стороны площадь равна:
Таким образом, получаем следующее равенство:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике — медиана. Площадь треугольника равна Найдите площадь треугольника
Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника равна площади треугольника и равна Тогда площадь треугольника равная сумме площадей треугольников и равна 2.
Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:
площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Пусть — высота, проведённая из к стороне Тогда площадь треугольника равна
Площадь треугольника равна
Так как то
Значит, площади треугольников и равны.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике — высота, Найдите расстояние от точки до прямой, содержащей отрезок
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Обозначим её за
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то
Откуда