Задачи №13 из ЕГЭ прошлых лет —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 13. Решение уравнений

13.01 Задачи №13 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83766

а) Решите уравнение $2cosx+ sin2x= 2cos3x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 7π ] −-2 ;− 2π .$

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

2cosx + sin2x= 2cos3x 2cosx+ 1− cos2x = 2cos3x 3 2 2 cos x+ cos x− 2cosx− 1= 0 cos2x (2cosx +1)− (2cosx+ 1)= 0 (cos2x − 1)(2cosx +1)= 0 ⌊ cosx = 1 || |⌈cosx = −1 2cosx= −1 ⌊ x = 2πn,n ∈ ℤ || |||x = π+ 2πm,m ∈ ℤ |⌈ x = ±2π +2πk,k ∈ℤ 3 ⌊x = πn,n ∈ ℤ || ⌈ 2π x = ± 3 +2πk,k ∈ℤ

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] 7π − 2 ;− 2π ,$ концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

$−−−−− 73π182ππ0ππ- 233$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 7π;−2π 2$ лежат числа $− 10π;−3π;− 8π ;− 2π. 3 3$

Ответ:

а) $πn,n ∈ ℤ;$ $± 2π + 2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $10π − -3- ;$ $− 3π;$ $8π − 3-;$ $− 2π$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83764

а) Решите уравнение $( ) cos2(π− x)− sin 3π+ x = 0. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π;− π-. 3 2$

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

По формулам приведения имеем:

( ) cos2(π− x)− sin 3π+ x = 0 2 2 cos⌊ x+ cosx= 0 cosx =0 ⌈ cosx =− 1 ⌊ π- | x= 2 + πn,n∈ ℤ ⌈ x= π + 2πm, m ∈ℤ

б) Отберем корни на отрезке $[ 5π π-] − 3 ;−2$ с помощью неравенства.

Для первой серии решений:

− 5π≤ π-+ πn≤ − π- 3 2 2 − 13≤ n ≤− 1 6 n = −2;−1 ⇒ x = − 3π;− π 2 2

Для второй серии решений:

− 5π ≤ π+ 2πm ≤ − π 3 2 4 3 − 3 ≤ m ≤− 4 m = −1 ⇒ x = −π

Следовательно, на отрезке $[ 5π π] − 3 ;− 2$ лежат корни $3π π- − 2 ;−π;− 2.$

Ответ:

а) $π+ πn,n ∈ℤ; 2$ $π+ 2πm,$ $m ∈ℤ$

б) $3π − -2 ;$ $− π;$ $π − 2-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63790

а) Решите уравнение $√ - √- 2sin2x cosx + 3cos2x = 3.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π;4π . 2$

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Так как $1= sin2x+ cos2x,$ то уравнение равносильно

2sin2xcosx+ √3-cos2x = √3sin2x + √3cos2x 2 √ - 2 2sin xcosx− √3sin x =0 sin2x(2cosx− 3)= 0 ⌊ |sinx= 0√- ⌈cosx = -3- ⌊ 2 x = πn,n∈ ℤ ⌈x = ±π-+ 2πk,k ∈ ℤ 6

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни.

$5234π3πππ 26$

Таким образом, подходят корни $3π;$ $23π; 6$ $4π.$

Ответ:

а) $πk;$ $± π-+ 2πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $3π;$ $23π ; 6$ $4π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#63789

а) Решите уравнение $√ - √- 2sin2x cosx + 2cos2x = 2.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 7π;− 2π . 2$

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Так как $1= sin2x+ cos2x,$ то уравнение равносильно

2sin2xcosx+ √2-cos2x = √2sin2x + √2cos2x 2 √ - 2 2sin xcosx− √2sin x =0 sin2x(2cosx− 2)= 0 ⌊ |sinx= 0√- ⌈cosx = -2- ⌊ 2 x = πk,k ∈ ℤ ⌈x = ±π-+ 2πk,k ∈ ℤ 4

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни.

$−−−− 7 932ππππ 24$

Таким образом, подходят корни $− 3π;$ $− 9π ; 4$ $− 2π.$

Ответ:

а) $πk;$ $± π-+ 2πk, 4$ $k ∈ ℤ$

б) $− 3π;$ $− 9π; 4$ $− 2π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#63788

а) Решите уравнение $√ - sinx ⋅cos2x − 2cos2 x+ sinx =0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π;3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой $cos2x= 2cos2 x− 1:$

sinx(2cos2x − 1)− √2-cos2x +sinx= 0 √- 2cos2xsin x− 2cos2x= 0 2 √ - cos x(2sinx − 2)= 0 ⌊cosx= 0 | √ - ⌈sinx = --2 2 ⌊x= π+ πk, k ∈ ℤ || 2 ||x= π+ 2πk, k ∈ℤ |⌈ 4 x= 3π-+ 2πk, k ∈ℤ 4

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни.

$3591πππ1π 32244π-$

Таким образом, подходят корни

3π; 9π; 5π; 11π 2 4 2 4

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $π+ 2πk; 4$ $3π + 2πk, 4$ $k ∈ ℤ$

б) $3π; 2$ $9π; 4$ $5π-; 2$ $11π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63274

а) Решите уравнение $cosx⋅cos2x= √2 sin2x+ cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π ] −-2 ;− π .$

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Адыгея

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой $cos2x= 1− 2sin2x$ и получим

cosx (1 − 2 sin2x)= √2 sin2x+ cosx √ - 2 2 2sin x( +2 sin xco)sx= 0 sin2x √ 2+ 2cosx = 0

Отсюда получаем

⌊ ⌊ sin x= 0; x= πk; |⌈ √- ⇔ |⌈ где k ∈ℤ cosx= − -2, x= ± 3π+ 2πk, 2 4

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни.

$−−−−− 52 3 5πππππ+ 2πk 244$

Таким образом, подходят корни $− 2π;$ $5π − 4 ;$ $− π.$

Ответ:

а) $πk;$ $± 3π +2πk, 4$ $k ∈ ℤ$

б) $− 2π;$ $5π − 4-;$ $− π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63273

а) Решите уравнение $cosx⋅cos2x= √3 sin2x+ cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π] π;2- .$

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой $cos2x= 1− 2sin2x$ и получим

cosx (1 − 2 sin2x)= √3 sin2x+ cosx √ - 2 2 3sin x( +2 sin xco)sx= 0 sin2x √ 3+ 2cosx = 0

Отсюда получаем

⌊ ⌊ sin x= 0; x= πk; |⌈ √- ⇔ |⌈ где k ∈ℤ cosx= − -3, x= ± 5π+ 2πk, 2 6

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни.

$5275πππππ +2πk 266$

Таким образом, подходят корни $π;$ $7π 6 ;$ $2π.$

Ответ:

а) $πk;$ $± 5π +2πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $π;$ $7π 6-;$ $2π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#63272

а) Решите уравнение $2sin3x +√2-cos2x = 2sinx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 3π] −3π;−-2 .$

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение:

2 sin3x+ √2 cos2x =2 sinx ( 2 ) √- 2 2sin x sin x− 1 +√ -2 cos x =0 −2sin xcos2x + 2cos2 x= 0 2 ( √-) cosx −2sin x+ 2 = 0

Отсюда получаем

⌊ π ⌊ | x= 2-+ πk; | cosx = 0;√- || π ⌈ -2- ⇔ || x= 4-+ 2πk; где k ∈ ℤ sinx = 2 , ⌈ 3π x= 4 + 2πk,

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

$−−−−3π5373ππππ+2πk 4224$

Таким образом, подходят корни $5π 7π 3π − 2 ;− 4 ;− 2 .$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $π+ 2πk; 4$ $3π + 2πk, 4$ $k ∈ ℤ$

б) $5π − -2 ;$ $7π − -4 ;$ $3π − -2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#63271

а) Решите уравнение $2cos3x = √3sin2 x+ 2cosx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π] −3π;−-2 .$

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) По основному тригонометрическому тождеству имеем:

2cos3x = √3(1 − cos2x)+ 2cosx

Раскроем скобки, перенесём слагаемое с минусом в левую часть, разложим на множители:

2cos3 x= √3 − √3-cos2x + 2cosx √- √ - 2cos3 x+ 3cos2x= 3+ 2cosx cos2x(2cosx+ √3) = √3 +2cosx ( √ -) 2cosx+ 3 (cos2x − 1)= 0

Отсюда получаем

⌊ √- ⌊ cosx= − -3- x = ±5π + 2πk |⌈ 2 ⇔ |⌈ 6 cosx= ±1 x = πk, k ∈ ℤ

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств:

1) − 3π ≤ πk ≤ − 5π ⇒ −3 ≤ k ≤ −2,5 2 k = −3 ⇒ x =− 3π 2) − 3π ≤ 5π +2πk ≤− 5π ⇒ −3≤ 5 + 2k ≤ − 5 6 2 6 2 5 1 − 3 6 ≤ 2k ≤ − 33 ⇒ k ∈ ∅ 3) − 3π ≤ − 5π6 + 2πk ≤ − 5π2 ⇒ −3 ≤− 56 +2k ≤− 52 − 2 1≤ 2k ≤ − 12 ⇒ k = − 1, x =− 5 − 2π 6 3 6

Таким образом, на отрезке $[ ] −3π;− 5π 2$ лежат корни $− 3π$ и $− 17π. 6$

Ответ:

а) $πk;$ $− 5π +2πk; 6$ $5π+ 2πk, 6$ $k ∈ℤ$

б) $− 3π;$ $17π − -6-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#58732

а) Решите уравнение $27x− 10 ⋅3x+1 + 81-= 0. 3x$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log72;log715].$

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Домножим обе части уравнения на $3x ⁄= 0.$ Получим

x x 2x+1 27 ⋅3 − 10⋅3 +81 =0

Преобразуем левую часть:

x x 2x+1 4x 2x 27 ⋅3 − 10⋅3 + 81= 3 − 10 ⋅3 ⋅3+ 81

Заметим, что $34x = 92x = (9x)2,$ а $32x = 9x.$ Сделаем замену $9x = t.$ Тогда получим

$pict$

Сделаем обратную замену:

$pict$

б) Сравним полученные корни с концами отрезка $[log72;log715].$ Для этого представим их в виде логарифма по основанию 7:

$pict$

Теперь нам осталось сравнить $√ - 7$ и $√--- 343$ с 2 и 15. Вместо этого мы можем сравнивать квадраты этих положительных чисел, то есть 7 и 343 с 4 и 225. Тогда имеем:

4< 7 <225 <343 ⇒ 2 < √7< 15< √343-

Таким образом, на отрезке $[log7 2;log7 15]$ лежит только корень $x = 0,5.$

Ответ:

а) 0,5; 1,5

б) 0,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#57003

a) Решите уравнение $( √ - ) log13 cos2x − 9 2cosx− 8 = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −2π;− π . 2$

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

√- 0 cos2x− 9 2cosx − 8 = 13

Оказалось, что аргумент логарифма равен $130 = 1,$ то есть положительному числу. Следовательно, ограничение «аргумент логарифма должен быть положительный» выполнено. Преобразуем это уравнение, воспользовавшись формулой косинуса двойного угла:

2cos2x− 9√2cosx− 10= 0

Сделаем замену $t =cosx.$ Тогда имеем:

√- 2t2− 9 2t− 10= 0 D = 162+ 4⋅2⋅10 =242 9√2-±-11√2- t= 4 √- √ - t= − -2; 5 2 2

Сделаем обратну замену. Заметим, что $√ - cosx ⁄=5 2,$ значит,

√- -2- 3π- cosx= − 2 ⇔ x= ± 4 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[− 2π;− π], 2$ с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ π] − 2π;− 2 ,$ концы этой дуги и принадлежащие ей решения из серий пункта а).

$π5π3π −−−−2π244-$

Следовательно, на отрезке $[ ] − 2π;− π- 2$ лежат корни

5π 3π x =− -4 ; −-4

Ответ:

а) $± 3π+ 2πk, 4$ $k ∈ℤ$

б) $− 5π ; 4$ $− 3π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#57000

a) Решите уравнение: $(√- ( ) ) log3 2 cos π− x + sin 2x+ 81 = 4. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π] π;2- .$

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

√- (π- ) 4 2 cos 2 − x + sin 2x + 81= 3

Заметим, что в этом уравнении аргумент логарифма равен $34,$ то есть положительному числу, следовательно, ограничение «аргумент логарифма должен быть положительный» выполнено. Преобразуем это уравнение:

√ - 2sin(x√ +2 sinxcos)x= 0 sinx 2+ 2cosx = 0 ⌊ ⌈sinx =0 √ - cosx = −--2 ⌊ 2 | x= πk, k ∈ℤ ⌈ 3π x= ± 4-+ 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[ 5π ] π;-2 ,$ с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 5π ] π; 2 ,$ концы этой дуги и принадлежащие ей решения из серий пункта а).

$π552πππ 24$

Следовательно, на отрезке $[ 5π ] π; 2$ лежат корни $x = π;$ $5π 4 ;$ $2π.$

Ответ:

а) $πk;$ $3π+ 2πk; 4$ $5π+ 2πk, 4$ $k ∈ℤ$

б) $π;$ $5π-; 4$ $2π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#56115

а) Решите уравнение $( √- ) log4 22x− 3 cosx − sin2x = x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 7π π;2 .$

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Данное уравнение равносильно

2x √- x 2 − 3 cosx − sin2x= 4

Заметим, что в этом случае аргумент логарифма равен положительному числу $4x,$ следовательно, он больше нуля, то есть выполнено ОДЗ уравнения. Преобразуем полученное уравнение, заметив, что $22x = 4x.$

√3-cosx +2 sinxcosx =0 √ - c⌊osx(2sinx + 3)= 0 cosx = 0 |⌈ √3 sinx= − -2- ⌊ x= π-+ πk, k ∈ ℤ || 2 || x= − 2π + 2πk, k ∈ ℤ |⌈ 3 x= − π-+ 2πk, k ∈ ℤ 3

Полученные значения $x$ и есть ответ в пункте а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[ ] π; 7π , 2$ с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] π; 7π , 2$ концы этой дуги и принадлежащие ей решения из серий пункта а).

$π34535πππππ 3322$ $717π0ππ 3π223-$

Следовательно, на отрезке $[ 7π ] π;-2$ лежат корни $4π x = 3-;$ $3π -2 ;$ $5π -3 ;$ $5π 2-;$ $10π 3 ;$ $7π 2 .$

Ответ:

а) $π+ πk; 2$ $− 2π+ 2πk; 3$ $− π+ 2πk, 3$ $k ∈ℤ$

б) $4π; 3$ $3π; 2$ $5π-; 3$ $5π; 2$ $10π; 3$ $7π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#56114

а) Решите уравнение $2log23(2cosx) − 5log3(2cosx)+ 2= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π; 5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $t= log3(2cosx).$ Тогда уравнение примет вид

2 1 2t − 5t+ 2= 0 ⇔ t = 2;2

Сделаем обратную замену:

⌊ log3(2 cosx)= 1 [2 cosx = √3 ⌈ 2 ⇔ 2 cosx = 9 log3(2 cosx)= 2

Второе уравнение не имеет решений, так как $cosx ∈[−1;1].$

Первое уравнение совокупности равносильно

√ - cosx= --3 ⇔ x = ±π-+ 2πk, k ∈ ℤ 2 6

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[ ] π; 5π , 2$ с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 5π ] π;-2 ,$ концы этой дуги и принадлежащие ей решения из серий пункта а).

$511π13ππ π266-$

Следовательно, на отрезке $[ ] π; 5π 2$ лежат корни

11π 13π x= -6-; x= -6-

Ответ:

а) $± π+ 2πk, 6$ $k ∈ ℤ$

б) $11π; 6$ $13π 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#65015

а) Решите уравнение $( ) log x ⋅log (4x2− 1)= log x-4x2-− 1-. 3 3 3 3$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log52;log527].$

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Так как брать логарифм можно только у положительного числа, то имеем:

(|x > 0 ||{4x2− 1> 0 {x > 0 1 | ( 2 ) ⇒ 2 ⇒ x > 2. ||( x-4x-− 1-> 0 4x > 1 3

Преобразуем правую часть уравнения:

( 2 ) log3 x-4x-−-1 =log3x+ log3(4x2− 1)− 1 3

Тогда имеем:

$( 2 ) ( 2 ) log3x⋅lo(g3 4x( −2 1 )=log)3x+ log3( 4x2 −)1 − 1 log3 x log3 4x − 1 − 1 =log3 4x − 1 − 1 (log3x − 1)(log3 (4x2− 1)− 1)= 0$

Тогда имеем:

$pict$

Значит, $x= 3$ или $x =1.$

б) $x$ может принимать два значения. Давайте узнаем про каждое, принадлежит ли оно нужному отрезку.

1.: $x= 1.$
$1= log55 log52< log55 < log527$

Значение $x= 1$ подходит.
2.: $x= 3.$
$3= log5 125 log52< log527 < log5125$

Значение $x= 3$ не подходит.

Тогда ответ: $x= 1.$

Ответ:

а) 1; 3

б) 1

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#65014

а) Решите уравнение $( ) log x ⋅log x2−-1 = log x-x2-− 1-. 4 4 2 4 8$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[log34;log349].$

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Так как брать логарифм можно только от положительного числа, то имеем:

(x > 0 |||{ x2− 1 -(2--> 0) |||( x-x2−-1- 8 > 0 { x2> 0 ⇒ x> 1 x >1

Преобразуем левую часть уравнения:

2 log4 x⋅log4 x-− 1 = log4x ⋅(log4(x2 − 1)− 0,5) = 2 ( ) = log4x ⋅log4 x2− 1 − 0,5log4x

Преобразуем правую часть уравнения:

( ) x--x2− 1 (2 ) log4 8 = log4x +log4x − 1 − 1,5

Тогда получаем

$( 2 ) ( 2 ) log4x⋅log4 x − 1 − 0,5 log4x= log4x+ log4 x − 1 − 1,5 log4x⋅log4(x2 − 1) =1,5log4x +log4(x2− 1) − 1,5 ( ) log4 x2− 1(log4 x− 1)− 1,5(log4x− 1)= 0 (log x − 1)(log (x2− 1)− 1,5)= 0 4 4$

Тогда имеем:

$pict$

Значит, $x= 4$ или $x =3.$

б) Узнаем про каждое из двух значений $x,$ принадлежит ли оно нужному отрезку.

1.: $x= 3.$
$3 = log327 log34 < log327< log349$

Значение $x= 3$ подходит.
2.: $x= 4.$
$4 = log381 log34 < log349< log381$

Значение $x= 4$ не подходит.

Тогда указанному отрезку принадлежит корень $x= 3.$

Ответ:

а) 3; 4

б) 3

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#65013

а) Решите уравнение $( ) √- √- sin 2x − 2cos x − π- = 3cosx− 3. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3π ] 2-;3π .$

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой синуса двойного угла и формулой косинуса разности:

$sin 2x − 2cos(x − π) =√3-cosx− √3 2 √- √ - 2sin xcosx − 2sinx = 3cosx− 3 2 sinx(cosx − 1) =√3 (cosx − 1) ( √-) (cosx− 1) 2sinx− 3 = 0$

Тогда имеем:

$pict$

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

$378πππ 2323π3π$

Таким образом, подходят корни $2π;$ $7π -3 ;$ $8π 3-.$

Ответ:

а) $π+ 2πk; 3$ $2π + 2πk; 3$ $2πk,$ $k ∈ℤ$

б) $2π;$ $7π ; 3$ $8π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#65012

а) Решите уравнение $( ) √- √- sin 2x + 2cos x − π- = 3cosx+ 3. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 3π] −3π;−-2 .$

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Татарстан

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой синуса двойного угла и формулой косинуса разности:

$sin 2x + 2cos(x − π) =√3-cosx+ √3 2 √- √ - 2sin xcosx + 2sinx = 3cosx+ 3 2 sinx(cosx + 1) =√3-(cosx +1) ( √-) (cosx+ 1) 2sinx− 3 = 0$

Тогда имеем:

$pict$

б) Сделаем отбор корней неравенствами:

$x= π+ 2πk,$ $k ∈ ℤ.$ Тогда
$− 3π-≥ π +2πk ≥ −3π. 2$
Разделим все части неравенства на $π,$ получим:
$− 3 ≥ 1+ 2k ≥ −3. 2$
Вычтем единицу из всех частей и разделим все части неравенства на 2, получим
$− 5 ≥ k ≥ −2. 4$
Так как $k$ — целое, то оно может быть равно только $− 2.$ В этом случае $x= −3π.$
$x= π-+ 2πk, 3$ $k ∈ ℤ.$ Тогда
$− 3π ≥ π-+ 2πk ≥ −3π. 2 3$
Разделим все части неравенства на $π :$
$− 3 ≥ 1+ 2k ≥ − 3. 2 3$
Вычтем из всех частей $13$ и разделим все части неравенства на 2:
$− 11-≥ k ≥ − 5. 12 3$
Так как $k$ — целое, то $k = −1.$ В этом случае $5π x = − 3 .$
$x= 2π + 2πk, 3$ $k ∈ ℤ.$ Тогда
$− 3π ≥ 2π+ 2πk ≥ − 3π. 2 3$
Разделим все части неравенства на $π :$
$3 2 − 2 ≥ 3 + 2k ≥ − 3.$
Вычтем из всех частей $2 3$ и разделим все части неравенства на 2:
$13 11 -1 5 −12 ≥k ≥ − 6 ⇒ −112 ≥k ≥ −16.$
Так как $k$ — целое, то мы не можем найти $k$ на заданном отрезке. В данном случае решений нет.

Итого, получим ответ: $5π- x= − 3$ или $x =− 3π.$

Ответ:

а) $π+ 2πk; 3$ $2π + 2πk; 3$ $π+ 2πk,$ $k ∈ℤ$

б) $− 5π ; 3$ $− 3π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#65011

а) Решите уравнение $( ) sin2x = sinx − 2sin x − 3π + 1. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π;3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой синуса разности:

( 3π 3π ) sin2x =sinx− 2 sinx⋅cos-2 − sin-2 ⋅cosx + 1

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

( 3π 3π ) 2sinx cosx = sinx− 2 sinx⋅cos 2 − sin 2 ⋅cosx + 1 2sinxcosx =sinx− 2sin x⋅0+ 2⋅(−1)⋅cosx+ 1 2sin xcosx= sinx − 2cosx +1 2 sinxcosx− sin x+ 2cosx− 1= 0 sinx(2cosx − 1)+(2cosx− 1)= 0 (sinx +1)(2cosx − 1) =0

Тогда имеем совокупность

$pict$

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

$375πππ 3233π$

Таким образом, подходят корни

3π ; 5π; 7π 2 3 3

Ответ:

а) $− π+ 2πk; 2$ $± π+ 2πk, 3$ $k ∈ ℤ$

б) $3π; 2$ $5π; 3$ $7π- 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#55519

а) Решите уравнение $sin 2x − 2sinx +2 cosx − 2 = 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 3π; 9π . 2$

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

а) По формуле синуса двойного угла $sin 2x = 2sinx cosx.$ Тогда

2sinx cosx − 2sinx +2 cosx − 2 = 0 2sinx(cosx− 1)+ 2(cosx− 1)= 0 2(cosx − 1)(sinx +1)= 0 [ cosx − 1 =0 sinx+ 1= 0 [cosx =1 sinx= − 1 [ x= 2πk, k ∈ ℤ x= − π2 + 2πk, k ∈ Z

б) Проведём отбор корней на числовой окружности:

$PIC$

Ответ:

а) $− π+ 2πk; 2$ $2πk,$ $k ∈ ℤ$

б) $7π; 2$ $4π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел