Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Запись числа заканчивается цифрой 3. Если же последнюю цифру переставить в начало, то получится число, на 27 больше . Найдите , если известно, что оно делится на 99, или докажите, что такого числа не существует.
Пусть имеет в своей записи цифру, тогда
где — это какое-то -значное число. Значит, после перестановки 3 в начало мы получим число
По условию получаем равенство
Следовательно, можем понять как выглядит
По условию должно делиться на 99, а следовательно оно делиться на 11. Значит, по признаку делимости на 11, знакопеременная сумма цифр числа должна делиться на 11. Но видно из его записи, когда чётно, то знакопеременная сумма равна 3, когда нечётно, то знакопеременная сумма равна 6. Следовательно, на 11 делиться не может.
В итоге делаем вывод, что чисел, подходящих под условия задачи, не существует.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Какое число больше: или
Источники:
Подсказка 1
Есть два способа определить какое из двух чисел больше. Можно вычесть одно из второго и посмотреть на знак, а можно найти отношение первого ко второму и посмотреть больше оно единицы или меньше. Очевидно, что вычитание в этой задаче нам ничего не даст, поэтому давайте найдем отношение.
Подсказка 2
Подумайте, как стоит расписать полученное отношение, чтобы воспользоваться тем, что для всех натуральных k выполняется неравенство 2 <= (1 + 1/k)^k < 3
Рассмотрим отношение чисел
Применим известное неравенство:
Тогда
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание.
Известное неравенство принималось на олимпиаде без док-ва, но любые корректные попытки его обоснования поощрялись. Покажем, как его можно доказать с помощью формулы бинома Ньютона:
Видно, что все скобки вида меньше 1, но при этом больше 0. Значит, если заменим их на 1, то выражение от этого увеличиться.
Последнее неравенство верно, ведь мы просто заменили в числителях все числа, которые больше 2, на 2, тем самым уменьшили знаменатели, следовательно, увеличили значение выражения.
В конце мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение с тремя неизвестными
в натуральных числах.
Подсказка 1
Понятно, что таковое равенство может редко когда достигаться, так как слева что-то почти всегда большее чем справа(степень растет быстрее произведения). Значит, нужно сделать какую-то понятную оценку, а все случаи, которые под нее не подходят, перебрать. Мы хотим какими-то неравенствами получить XYZ, как оценку снизу. Что мы знаем из неравенств? Как это неравенство нам поможет в оценке XYZ(желательно несколько симметрично относительно X и Z, так как очень похожее структурно)?
Подсказка 2
Да, хочется применить неравенство о средних для двух чисел, но как? Нам нужно как-то X^Y перейти к произведению XY*(что-то, не обязательно константное). Аналогично, со вторым слагаемым. Если X >= 2, то X^k >= 2^k, k - натуральное. При этом, 2^k >= 2k(доказывается по индукции), или 2^(k - 1) >= k. Как с этим знанием найти эту оценку?
Подсказка 3
Верно, можно сделать оценку, что X^Y >= X^2 * X^(Y - 2) >= X^2 * 2^(Y - 2) >= X^2*Y/2. При этом, если бы X >= 3, то мы могли бы сказать, что X^(Y - 1) >= 3^(Y - 1) > 2 ^ (Y - 1) > Z^2/2(при Z > 4, остальные Z перебираются). Значит, можно это неравенство применить на второе слагаемое в левой части уравнения.
Подсказка 4
Тогда, Y^Z = Y^(Z - 1) * Y >= 3^(Z - 1) * Y >= Z^2*Y/2. Почему это хорошие оценки? Потому что у нас получается идеальные слагаемые для оценки их как неравенства о средних(Z^2*Y/2 и X^2*Y/2), так как степень каждой переменной будет равна 2/2 = 1, а коэффициент будет равен 1(из за 1/2 перед каждым слагаемым). Значит, при Х >= 2, Y >= 3 у нас есть строгая оценка, что левая часть больше правой. Отсюда, осталось грамотно перебрать меньшие, но это уже задача вполне рабочая.
1) Рассмотрим случаи. При получаем уравнение:
откуда , то есть , .
2) При получаем уравнение:
При решений нет. При подстановке получаем решения , , , . При будет выполнено, что и тогда решений не будет.
Доказать, что легко по индукции. База индукции проверяется подстановкой .
Шаг индукции доказывается тем, что если
так как при .
3) При сначала рассмотрим случай . Тогда имеем уравнение
которое не имеет решений, так как
. (неравенство легко доказать по индукции)
Иначе . Тогда
. (в последнем переходе снова используем неравенство )
При неравенство можно проверить вручную, а при сослаться на доказанное нами неравенство .
В итоге, воспользовавшись доказанным и неравенством между средними, получаем:
То есть при решений нет, так как .
, , , ,