Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В круговой сектор радиуса с центральным углом вписаны две окружности (обе касаются радиусов-сторон сектора, друг друга внешним образом, а большая касается окружности сектора). Какую наибольшую долю может составлять расстояние между центрами вписанных окружностей от величины и при каком значении это достигается?
Обозначим радиусы малой и большой вписанных окружностей через и , введём величину . Отметим, что .
Выразим стороны треугольника через радиусы трёх окружностей.
Из подобия прямоугольных треугольников получаем
Откуда
Расстояние между центрами вписанных окружностей равно .
Рассмотрим искомое отношение
Относительно величины это отношение есть парабола . Выразим параметр через угол .
Таким образом, при изменении от до параметр растёт от до . Остаётся найти максимум параболы на полученном отрезке . Вершина параболы лежит правее отрезка, следовательно искомый максимум достигается при и равен .
при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На каждой из сторон параллелограмма выбрано по произвольной точке. Точки на соседних сторонах параллелограмма соединены отрезками прямых. В результате от параллелограмма оказываются отсеченными четыре треугольника. Вокруг каждого из этих треугольников описана окружность. Докажите, что центры этих окружностей являются вершинами некоторого параллелограмма.
Источники:
Подсказка 1
Взглянув на условие, кажется, что надо доказать что-то страшное и непонятно, как это делать. Но давайте вспомним, какие в принципе у нас есть способы решения задач по планиметрии? Углы считать мы не пойдём, в лоб доказывать равенство сторон тоже. Как можно сделать это хитрее?
Изобразим окружности и их центры, которые обозначим Рассмотрим векторы и
Поскольку центры описанных окружностей лежат на пересечении серединных перпендикуляров, проекции указанных векторов на стороны исходного параллелограмма будут равны половине этих сторон.
Таким образом, если ввести две оси: одну параллельно стороне а другую параллельно стороне то каждая пара рассматриваемых векторов будет иметь одинаковые проекции на каждую из введенных осей. Отсюда следует попарное равенство самих векторов.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две равные окружности пересекаются в точках и . Произвольная прямая, проходящая через , повторно пересекает окружности в точках и , а касательные к окружности в этих точках пересекаются в точке . Докажите, что отрезки и видны из точки под одинаковыми углами.
Подсказка 1
Доказать, что отрезки видны под равными углами из точки Р равносильно равенству углов APQ и CPB. Чему можно приравнять углы APQ и QPB?
Подсказка 2
Углы APQ и QAC равны, поэтому осталось показать равенство углов САВ и СРВ. О чём говорит равенство САВ и СРВ?
Подсказка 3
Да, оно равносильно вписанности четырёхугольника CAPB. Чтобы доказать это, воспользуемся признаком вписанности, использующим сумму двух противоположных углов!
По теореме об угле между касательной и хордой Следовательно,
т.е. четырехугольник вписанный. Значит,
Другие случаи расположения точек рассматриваются аналогично, например, на втором рисунке