Последовательности и прогрессии на Росатоме —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Последовательности и прогрессии на Росатоме

Тема Росатом

Последовательности и прогрессии на Росатоме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76644

Члены последовательности $a n$ удовлетворяют соотношению:

-2-- an+2 = an− an+1 ,a1 = 8,a2 =19

Найти $n,$ для которого $an = 0.$

Источники: Росатом-2022, 11.3 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрим момент, когда появился нулевой член последовательности. Что случается с произведением соседних членов, когда появляется ноль?

Подсказка 2

Рассмотрите последовательность произведений соседних членов. Какому соотношению она удовлетворяет? Как найти ноль?

Подсказка 3

Домножьте равенство, данное в условии, на знаменатель. Какой вид имеет общий член новой последовательности? Найдите ноль)

Показать ответ и решение

По условию $a,a ⁄= 0. 1 2$ Элементы последовательности определены пока $a ⁄= 0. n+1$ Для остальных номеров члены последовательности не определены.

Пусть $an+1 ⁄=0,an+2 = 0.$ Тогда для всех $k ≤n ⇒ ak+1ak− 2.$ Последовательность $bk = ak+1ak$ удовлетворяет соотношению $bk+1 = bk − 2$ и представляет собой арифметическую прогрессию с разностью $d= −2$ и первым членом $b1 =a2a1 = 8⋅19=152.$ Общей её член $bk = b1− 2(k− 1)$ равен нулю, если