Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Выписаны 100 положительных чисел, сумма которых равна 
а сумма квадратов больше, чем 
Доказать, что среди этих чисел есть
число, большее, чем 
Источники:
Подсказка 1
Пусть х₁ - наибольшее из чисел. Тогда очевидно х₁>P/S. С таким выражением работать куда проще, чем с абстрактным условием на неизвестное число. Перезапишем его в виде Sx₁>P. Как бы нам доказать это неравенство?...
Подсказка 2
Давайте домножим выражение для суммы всех чисел на х₁. Попарного сравним каждое слагаемое со слагаемыми из суммы квадратов. Что получается?
Подсказка 3
Верно, Sx₁ оказывается не меньше суммы квадратов! А теперь можно заменить всё на введённые в условии обозначения и доказать неравенство.
Расположим наши числа по убыванию, 
Имеем
Умножим первое равенство на 
получим, что
Следовательно, 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти трехзначное число, которое в 9-ричной системе счисления записывается теми же цифрами, но в обратном порядке.
Источники:
Подсказка 1
Запишем искомое число в виде 100а+10b+c. Как нам схожим образом записать это число в девятеричной системе?
Подсказка 2
Верно, 81c+9b+a. Приравняем эти выражения и получим уравнение на три неизвестных. Найти и выразить их из него мы не сможем, но можем выявить некоторые характеристики этих чисел. Например, о равенстве каких-то двух переменных. Как бы нам переписать это уравнение так, чтобы какая-нибудь разница равнялась нулю?
Подсказка 3
Конечно, записав 100а-80b =a-b, получим, что разница a и b кратна 10, но так как обе переменные однозначны, то и их разность равна только нулю. Тогда а=b. Подставив в известное нам равенство и пользуясь однозначностью чисел, можем так же точно определить значения наших переменных
Пусть искомое число записано цифрами 
то есть
Запишем условие задачи:
Перепишем это равенство в виде:
Левая часть делится на 10, значит 
также делится на 10. В силу того, что 
и 
— однозначные числа, эта разность может быть
равна только 0, т.е. 
Подставив в полученное ранее равенство, получим
Итак, возможен только один вариант: 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма нескольких натуральных чисел, в записи каждого из которых участвуют только цифры 
и 
равна 
(
семёрки).
Какое наименьшее число слагаемых может быть в этой сумме?
Источники:
Подсказка 1
Может нам как-нибудь немного упростить себе задачу? Например, упростив сумму чисел. Число с 2022 одинаковыми цифрами должно делиться на 3, тогда составим уравнение, где сумма n чисел равна 77...7 и поделим обе части
Подсказка 2
В новом уравнении каждое из чисел сумме в 3 раза меньше соответствующего элемента из первого уравнения, то есть все числа состоят из единиц и нулей и в сумме дают 259259...259. Как могла получится девятка в таком числе?
Подсказка 3
Верно, эти девятки говорят о том, что число получалось из суммы как минимум 9 чисел (при меньшем количестве суммы единиц не могло бы хватить). Остаётся только подобрать подходящий пример)
Пусть 
где числа 
записываются только нулями и тройками. Сумма цифр числа 
равна 
и
делится на 
Тогда
где числа 
записываются только нулями и единицами. Поскольку 
содержит девятку, наименьшее количество слагаемых в
этой сумме равно 
Эти слагаемые легко находятся для числа 
Умножая на три, получим:
Теперь "периодическим"повторением этой записи получаем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— нечётное простое число. Найдите все целые 
и 
такие, что
Источники:
Подсказка 1
Такс, нам говорят, что p простое. Это очень сильное условие, поэтому давайте попробуем перенести p в правую часть, а всё остальное в левую! И после этого попробуем левую часть разложить на множители.
Подсказка 2
Да, она раскладывается не так уж и легко. Так что, попробуйте вынести (x+y), а дальше подобрать не так сложно)
Подсказка 3
В итоге, должно получиться равенство (x+y)(x-y) ² = -p³. А теперь нам сильно помогает условие на простоту p, ведь мы теперь точно понимаем, чему может равняться каждая из скобок! Всего два случая, в первом квадрат это ±p, а во втором ±1. Осталось решить каждый из случаев
Подсказка 4
Верно, для того, чтобы решить каждую систему, достаточно просто сложить или вычесть её уравнения!
Перепишем уравнение в виде 
и разложим левую часть на множители:
Таким образом, числа 
и 
являются степенями простого числа 
. Но 
— чётная степень 
значит, множитель
— это нечётная степень 
и так как 
то
В первом случае имеем
Во втором
Так как 
— нечётное, то числа 
и 
в этих наборах — целые.
