Вероятности на Курчатове —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Вероятности на Курчатове

Тема Курчатов

Вероятности на Курчатове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела курчатов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70780

На тарелке лежат различные конфеты трёх видов: 2 леденца, 3 шоколадных и 5 мармеладных. Света последовательно все их съела, выбирая каждую следующую конфету наугад. Найдите вероятность того, что первая и последняя съеденные конфеты были одного вида.

Источники: Курчатов-2022, 11.1 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассматривать одновременно все варианты первой и последней конфеты явно неудобно, тогда давайте разделять и властвовать. Посчитаем отдельно вероятности для леденцов, шоколадных и мармеладных, а потом сложим их вместе.

Подсказка 2

Вероятность выбрать леденец первой конфетой равна отношению числа леденцов к общему числу конфет. Подумайте, почему вероятности выбора леденца на любое другое место равны между собой. Тогда чему равна данная вероятность?

Подсказка 3

Вероятность выбрать леденец на последнее место равен 1/9. Аналогичными размышлениями мы можем найти вероятность для шоколадных и для мармеладных конфет, а затем и ответ к задаче.

Показать ответ и решение

Две конфеты одного вида могут быть либо леденцами, либо шоколадными, либо мармеладными. Посчитаем вероятности каждого из этих событий и сложим их.

Упорядочим конфеты в порядке их съедания. Вероятность того, что первая конфета — леденец, равна $2- 10.$ Вероятность того, что последняя конфета леденец, равна вероятности того, что леденец на любом другом месте. Следовательно, эта вероятность равна $1 9,$ поскольку после выбора первой конфеты осталось всего 9 конфет, среди которых ровно один леденец. Итак, вероятность того, что первая и последняя конфеты — леденцы, равна $2- 1 -2 10 ⋅9 = 90.$

Аналогично найдём вероятность того, что первая и последняя конфета — шоколадные, она равна $3- 2 6- 10 ⋅9 = 90.$ А вероятность того, что первая и последняя конфета — мармеладные, равна $5 4 20 10 ⋅ 9 = 90.$ Следовательно, ответом задачи является число

2 6 20 28 14 90 +90 +90 = 90 = 45

Замечание. Вероятность того, что первая и последняя конфеты являются леденцами, можно также считать следующим образом.

Всего есть $21!⋅03!!⋅5!$ способов выложить наши 10 конфет в ряд, а среди них есть $38!⋅5!$ способов выложить их в ряд так, чтобы леденцы были в начале и в конце. Тогда вероятность того, что первая и последняя конфеты являются леденцами, равна