Алгебраические текстовые задачи на Курчатове —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Алгебраические текстовые задачи на Курчатове

Тема Курчатов

Алгебраические текстовые задачи на Курчатове

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела курчатов

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85566

На координатной плоскости $Oxy$ рассматривается угол, образованный прямыми $y = x$ и $y = −2x$ , целиком лежащий в полуплоскости $y ≥0$ . Среди всех парабол вида $2 y = ax + bx +c$ , вписанных в данный угол, найдите ту параболу, которая принимает наименьшее значение в точке $x =2$ .

Источники: Курчатов - 2024, 11.6 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Внимание

Условие этой задачи можно понимать по-разному:

Подсказка 1 по первому варианту

Вспомним, что означает с точки зрения уравнений, что парабола касается прямой, запишем эти условия в алгебраической форме. Получим некоторые условия, связывающие между собой коэффициенты квадратного трехчлена.

Подсказка 2 по первому варианту

Теперь, имея условие на коэффициенты трехчлена, останется только подставить в выражение для него x=2 и минимизировать получившуются величину.

Подсказка 1 по второму варианту

Условие, что парабола имеет вершину при x=2, можно записать алгебраически: это значит, что выделяя полный квадрат, мы получим скобку (х-2)^2.

Подсказка 2 по второму варианту

Далее получаем условие на коэффициенты трехчлена, связанные с тем, что искомая парабола касается двух прямых. Из этих условий коэффициенты определяются однозначно!

Показать ответ и решение

Пусть парабола $y =ax2+ bx+ c$ касается обеих прямых $y = x$ и $y = −2x$ . Касание с прямой $y = x$ означает, что квадратное уравнение $2 ax + bx +c =x$ имеет единственное решение, т.е. дискриминант $D1$ этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: $2 D1 = (b− 1)− 4ac= 0$ .

Аналогично, касание с прямой $y = −2x$ означает, что квадратное уравнение $2 ax +bx+ c= −2x$ имеет единственное решение, поэтому дискриминант $D2$ этого квадратного уравнения также равен $2 0 :D2 = (b+ 2) − 4ac= 0$ . Из этих двух равенств следует, что $2 2 (b− 1) = (b+2)$ , поскольку оба этих выражения равны $4ac$ . Решая это уравнение относительно $b$ , получаем $1 b= −2$ . Подставим это значение $b$ в формулу для $D1$ и найдем $-9 ac= 16$ . Подставим в уравнение параболы $2 y = ax + bx+ c$ значения $x =2$ и $b=$ $1 −2$ : получается выражение $4a+ c− 1$

Найдём, какое наименьшее значение принимает это выражение при условии $9 ac= 16$ .

Заметим, что $a> 0$ , поскольку парабола лежит в верхней полуплоскости относительно оси $Ox$ , а значит, и $c>0$ . Поэтому мы можем применить неравенство Коши: $√--- 4a+ c≥ 2 4ac=3$ , откуда $4a+ c− 1 ≥3− 1= 2$ . Значит, наименьшее значение равно 2 , причем оно достигается, когда $4a +c=$ $√ --- 2 4ac$ . Перенося все слагаемые налево, получаем, что $√- √- (2 a− c)2 = 0$ , откуда $√- √ - 2 a= c$ и $c= 4a$ . Подставляя $c$ в формулу $ac= 196$ и помня, что $a,c> 0$ , получаем $a = 38$ и $c= 32$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Принимались также решения, в которых условие понималось так, чтобы найти параболу, которая принимает своё наименьшее значение в точке $x= 2$ . Решение задачи в этой трактовке приведено ниже.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть наша парабола имеет вершину в точке $x= 2$ . Тогда ее уравнение выглядит так: $y = a(x− 2)2+d$ для некоторых чисел $a$ и $d$ .

Касание с прямой $y =x$ означает, что квадратное уравнение $a(x− 2)2+ d= x$ имеет единственное решение, т.е. дискриминант $D1$ этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: $D1 = (4a+ 1)2 − 4a(4a +d)= 0$ .

Аналогично, касание с прямой $y = −2x$ означает, что квадратное уравнение $a(x− 2)2 +d =−2x$ имеет единственное решение, поэтому дискриминант $D2$ этого квадратного уравнения также равен $0:D2 = (4a− 2)2 − 4a(4a+ d)= 0$ . Из этих двух равенств следует, что $(4a+ 1)2 = (4a − 2)2$ , поскольку оба этих выражения равны $4a(4a+ d)$ . Решая это уравнение относительно $a$ , получаем $a = 18$ . Подставим это значение $a$ в формулу для $D1$ и найдем $d= 4$ . Таким образом, мы нашли уравнение искомой параболы:

y = 1(x− 2)2+ 4= 1x2− 1x+ 9 8 8 2 2

Ответ:

$y = 3x2− 1x + 3 8 2 2$

в другой трактовке условия $1 2 1 9 y = 8x − 2x+ 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#85562

По плоскости ползут три улитки. Каждая улитка движется со своей скоростью прямолинейно и равномерно. Известно, что в некоторые три момента времени все улитки оказывались на одной прямой. Могут ли улитки в какой-то момент времени оказаться в вершинах правильного треугольника?

Источники: Курчатов - 2024, 11.4 (см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как в геометрии, так и в других разделах математики, зачастую бывает удобно зафиксировать задачу набором переменных. Если мы хотим зафиксировать задачу здесь, то самым банальным набором будет функция движения каждой улитки. Пусть (x_i(t), y_i(t)) - положение улитки относительно времени. Какое тогда условие, при наличии направляющих векторов можно наложить на их координаты, если в некоторый момент времени эти три улитки были

Подсказка 2

Верно, что (x_2(t) - x_1(t))(y_3(t) - y_1(t)) = (x_3(t) - x_1(t))(y_2(t) - y_1(t)). Просто записали векторное произведение векторов от первой ко второй улитке и от первой к третьей. Что теперь можно понять, если у нас нашлось 3 значения таких t(то есть, три раза был момент, когда они все на 1 прямой)? А если подумать какой степени каждая из зависимостей x_i, y_i относительно t?

Подсказка 3

Зависимости x_i, y_i - линейный зависимости(так как каждая улитка движется по линии), а значит, уравнение выше - не выше второй степени. Однако, у него есть три различных корня. Что это значит тогда? Когда такое может быть?

Показать ответ и решение

Введем декартову систему координат, и пусть $(x (t);y(t)),i= 1,2,3 i i$ - координаты $i$ -й улитки в момент времени $t$ . Поскольку улитки движутся прямолинейно и равномерно, то $xi(t)$ и $yi(t)$ - линейные функции от времени $t$ . Рассмотрим векторы

¯a(t)= (x (t)− x(t);y (t)− y (t)), 2 1 2 1 ¯b(t)=(x3(t)− x1(t);y3(t)− y1(t)),

направленные от первой улитки ко второй и третьей соответственно. Тогда условие принадлежности трех улиток одной прямой равносильно коллинеарности векторов $¯a(t)$ и $¯ b(t)$ .

Это в свою очередь равносильно пропорциональности координат этих векторов:

(x2(t)− x1(t))(y3(t)− y1(t))= (x3(t)− x1(t))(y2(t)− y1(t)).

Заметим, что это равенство представляет собой уравнение на переменную $t$ степени не выше 2. Нам известно, что у этого уравнения есть три различных корня. Но тогда это уравнение имеет тривиальный вид $0 =0$ , поскольку в противном случае у него не может быть больше двух корней. Значит, это уравнение справедливо при любом $t$ , и улитки всегда находятся на одной прямой и не могут оказаться в вершинах ни одного треугольника.

Ответ: нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел