Параметры на САММАТе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Параметры на САММАТе

Тема САММАТ (Самарская математическая олимпиада)

Параметры на САММАТе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела саммат (самарская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70385

Найти все значения параметра $a,$ при которых уравнение

--a2+x2-− 4x−-6a−-23-- √a2+-ax− 2x2−-2a−-x+1-= 0

имеет единственное решение.

Источники: САММАТ-2023, 11.9 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами обычное уравнение f(x)/g(x) = 0, давайте вспомним, какой равносильный переход позволит нам работать отдельно с числителем и знаменателем. Какое условие поможет нам избавиться от корня?

Подсказка 2

Мы получили какие-то страшные выражения, содержащие x^2 или a^2. В них часто спрятана формула окружности или произведение скобок с выражениями, с которыми удобно работать. Попробуйте понять, что спрятано в наших выражениях. Чтобы увидеть формулу окружности, стоит повыделять полные квадраты, а если вы считаете, что выражение получено перемножение некоторых скобок, то попробуйте решить квадратное уравнение относительно x или a.

Подсказка 3

Ура, теперь когда мы упростили исходную задачу, пора выбрать сторону: алгебра или геометрия? Давайте подумаем, сможем ли мы свести каждое наше выражение к некоторым геометрическим объектам, а сможем ли мы легко найти корни уравнения и подставить их в неравенство?

Подсказка 4

Перед нами же уравнение окружности (a-3)^2+(x-2)^2=36 и некоторые области, ограниченные прямыми (a-x-1=0 и a+2x-1=0), так давайте же попробуем нарисовать их в xOa.

Подсказка 5

Когда мы нарисовали нашу картинку, дать ответ уже совсем просто, ведь для каждой пары (x, a) мы можем точно сказать, подходит она нам или нет. Если мы зафиксируем какое-либо a_0, то есть будем жить в горизонтальной прямой a=a_0, то любое пересечение с нашим графиком даст нам решение (x, a_0). Остаётся понять, когда наша горизонтальная прямая имеет ровно 1 пересечение. Не забывайте думать про те области, в которых ваш график не нарисован, часто бывает, что мы не видим пересечения, просто потому что оно где-то далеко и мы его не нарисовали.

Показать ответ и решение

Область допустимых значений уравнения определяется неравенством

2 2 a + ax− 2x − 2a− x+ 1> 0

Выражение слева представляет собой квадратный трёхчлен относительно $a.$ Найдем его корни, получим

a2+ a(x − 2)− 2x2− x+ 1= 0⇒

D = (x− 2)2− 4⋅(− 2x2− x+ 1)= x2− 4x+ 4+ 8x2+4x− 4= 9x2 ⇒

a1 = 2−-x+3x-= x+1, a2 = 2− x-− 3x-=− 2x +1 ⇒ 2 2

a2+ a(x− 2)− 2x2− x +1= (a− x− 1)(a+2x − 1)

Поэтому неравенство равносильно неравенству

(a− x− 1)(a+ 2x− 1)> 0,

или совокупности систем неравенств

{ { a − x− 1> 0 или a− x− 1< 0 a +2x− 1> 0 a+ 2x− 1< 0

Первая система неравенств определяет область декартовой плоскости $Oxa$ — внутреннюю часть угла, расположенного выше прямых, а вторая — ниже прямых, определяемых уравнениями $a− x − 1 =0$ и $a+ 2x− 1= 0.$

$PIC$

Уравнение

a2+ x2 = 23 +4x+ 6a,⇒ a2− 6a+ x2− 4x− 23= 0⇒

a2− 6a+9 +x2− 4x+ 4− 36= 0,⇒ (a − 3)2+(x− 2)2 =36

определяет окружность с радиусом $R = 6$ и центром в точке с координатами $x= 2,$ $a= 3.$

Найдем точки пересечения этой окружности с найденными прямыми.

1.

${ 2 2 { 2 { 2 (a − 3) + (x− 2) =36 ⇒ 2(x− 2) =36 ⇒ (x − 2) = 18 ⇒ a− x− 1= 0 a= x+ 1 a= x+ 1$

${ √- x− 2= ±3 2 ⇒ x =2− 3√2,a = 3− 3√2 a= x+ 1 1 1$ , или $x = 2+3√2,a = 3+ 3√2 2 2$

2.

${ (a − 3)2+ (x− 2)2 =36 { (− 2x − 2)2+ (x− 2)2 =36 a+ 2x − 1 =0 ⇒ a= −2x+ 1 ⇒$

${ { 4x2+8x+ 4+ x2− 4x +4= 36 ⇒ 5x2+ 4x− 28=0 ⇒ x3 =− 14= −24 , a= −2x+ 1 a= −2x+1 5 5$ $a3 = 33= 63 5 5$ или $x4 = 2,a4 = −3$

Уравнение будет иметь единственное решение, если горизонтальная прямая с уравнением $y = a$ пересекает объединение двух дуг окружности, лежащих в двух указанных выше угловых областях только в одной точке (смотри рисунок). Таким образом, искомое множество значений параметра $a$ есть объединение $(− 3;3− 3√2)∪$ $(63;3+ 3√2]∪ {9} 5$

Ответ:

$(− 3;3− 3√2)∪ (63;3+ 3√2-]∪{9} 5$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#77783

Укажите, при каких значениях параметра $a$ уравнение имеет решение:

2(4x−x2−4) √ - ( 4x−x2−3) 2cos 2 = 5a − 3sin 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В глаза бросается выражение, которое следует заменить переменной t. Тогда сразу становится понятно, какие тригонометрические формулы использовать при преобразовании для упрощения уравнения.

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= 24x−x2−3,t> 0,$ уравнение примет вид:

2 t √ - 2cos2 = 5a − 3sint,

откуда следует:

√- √- 1+ cost= 5a− 3sint⇒ cost+ 3sint= 5a− 1,

1 √3 5a− 1 π π 5a− 1 2cost+ 2-sint =--2-- ⇒ cos3 cost+ sin3 sint= --2--,

( ) cos π − t = 5a−-1. 3 2

Данное уравнение может иметь решение при $− 1 ≤ 5a−21-≤1,$ но не все значения параметра $a$ , удовлетворяющие этому ограничению, подходят, поскольку

0< t= 24x−x2−3 = 21−(x−2)2 ≤ 2

и, следовательно, $π π π − 3 <t− 3 ≤2 −-3.$

Заметим, что $π 1< 3 <2,$ следовательно $π π 0 <2− 3 < 1< 3.$ Выделяя $( π π] − 3;2 −3$ на тригонометрическом круге (см. рисунок), видим, что при $( ) 12 < cos t− π3 ≤ 1,t∈ (0;2].$