Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Существует ли функция 
заданная на всей числовой оси такая, что
б) Существует ли такая функция, заданная для 
Источники:
Пункт а, подсказка 1
Функция может принимать при разных абсциссах одни и те же значения, но бывает ли наоборот? Может ли функция при одной абсциссе иметь два значения?
Пункт а, подсказка 2
Такое сложное выражение внутри функции для абсцисс, может ли оно быть равно одному значению при подстановке разных x?
Пункт а, подсказка 3
Заметим, что в выражении «x - 1/x» есть переменная и обратная к ней, а что если в место переменной подставить сразу обратную, то есть (1/x) - 1/(1/x) = 1/x - x. Получилось, что-то очень похоже на изначальное выражение, может только поменять знак?
Пункт а, подсказка 4
Используя предыдущий факт, внимательно посмотрите на два равенства, получаемых при подстановке в функцию, например, x = 2 и x = -½. Придите к противоречию.
Пункт б, подсказка
Обратите внимание, что положительный x должен быть для f(x), а не для условия на f(x - 1/x).
а) Предположим, что такая функция существует. Тогда подстановкой 
и 
в условие задачи
получаем противоречие
б) Если существует, то снова возникает противоречие при 
с неоднозначностью 
Этот пункт проверяет лишь
понимание, что положительный 
должен быть для 
, а не для условия на 
а) нет
б) нет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Коническое (пожарное) ведро было заполнено водой до самого края.
В него положили шар, причем он полностью покрылся водой. Покажите, что при этом из ведра вылилось не более половины бывшей там воды.
Источники:
Подсказка 1
Если мы хотим доказать, что что-то меньше чего-то, то нам надо взять это что-то максимальным, а после этого доказать, что даже в этом случае выполняется требуемое. Шар у нас лежит не выше уровня воды, при этом, он касается поверхности конуса. В какой ситуации тогда радиус шара будет максимальным(ну а значит и его объем)?
Подсказка 2
Предельное положение - это когда шар вписан в конус. А значит, окружность радиуса такого же как у шара вписана в сечение конуса, которое проходит через диаметр окружности в основании и вершину. Значит, мы можем взять за r - радиус шара, за h - высоту конуса и за R - радиус окружности в основании конуса и тогда картинка однозначно фиксируется и все через все выражается. Сделайте это и поймите связь между r и парой h и R. Чему тогда равно отношение объемов(ведь этого от нас и просят)?
Подсказка 3
Отношение объемов равно, в силу того, что (h - r)/r = sqrt(h^2 + R^2)/r, 4 * (h / r) * (1 - 2 * (h/r)). Мы хотим максимизировать объем, значит, надо взять максимум у этой параболы(у нас же относительно h/r - выражение представляется графически параболой), а она не больше 1/2.
Обозначим радиус шара через 
радиус основания конуса через 
а высоту конуса — через 
Тогда объём конуса
равен
Объём шара
Отношение этих объемов равно
Можно считать, что верхняя точка шара находится на поверхности воды, иначе воды выльется ещё меньше.
Из подобия прямоугольных треугольников 
и 
имеем
Возведем равенство в квадрат, получим
Значит, отношение объёмов равно
где 
Максимум этой функции достигается в вершине параболы, то есть при 
и составляет
Заметим, что максимум достигается при 
при этом
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Выписаны 100 положительных чисел, сумма которых равна 
а сумма квадратов больше, чем 
Доказать, что среди этих чисел есть
число, большее, чем 
Источники:
Подсказка 1
Пусть х₁ - наибольшее из чисел. Тогда очевидно х₁>P/S. С таким выражением работать куда проще, чем с абстрактным условием на неизвестное число. Перезапишем его в виде Sx₁>P. Как бы нам доказать это неравенство?...
Подсказка 2
Давайте домножим выражение для суммы всех чисел на х₁. Попарного сравним каждое слагаемое со слагаемыми из суммы квадратов. Что получается?
Подсказка 3
Верно, Sx₁ оказывается не меньше суммы квадратов! А теперь можно заменить всё на введённые в условии обозначения и доказать неравенство.
Расположим наши числа по убыванию, 
Имеем
Умножим первое равенство на 
получим, что
Следовательно, 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки 
лежат в вершинах клеток клетчатой бумаги. Может ли угол 
оказаться равным 
Источники:
Подсказка 1
Угол может располагаться вообще как угодно, неприятно. Давайте использовать линии сетки. Проведём из точки В луч горизонтальный и опустим на него перпендикуляры АЕ и СF, получим углы α = АВЕ и β = CBF (возможно, какой-то из них нулевой! если Е или F на одной линии с В). Что мы можем найти для этих углов?
Подсказка 2
Можем найти тангенс α и β. Теперь давайте вычислим тангенс АВС с помощью формулы тангенса суммы. Поразмышляйте над полученным выражением: что же нам даёт расположение точек в узлах сетки... давайте, не ленитесь, не хочу лишать Вас удовольствия
Подсказка 3
Оп-па, а это выражение (тангенс суммы) рационален! А тангенс 30 градусов нет. Развалили задачу
Проведем из точки 
луч по линии сетки:
Тогда угол 
будет равен сумме углов 
и 
(они могут быть и отрицательными). Тангенс такого угла равен отношению двух
целых чисел, то есть является рациональным числом. Тогда
также рациональное число. Но 
— число иррациональное.
Если один из углов 
и 
является прямым, то можно использовать луч, идущий перпендикулярно первому.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти трехзначное число, которое в 9-ричной системе счисления записывается теми же цифрами, но в обратном порядке.
Источники:
Подсказка 1
Запишем искомое число в виде 100а+10b+c. Как нам схожим образом записать это число в девятеричной системе?
Подсказка 2
Верно, 81c+9b+a. Приравняем эти выражения и получим уравнение на три неизвестных. Найти и выразить их из него мы не сможем, но можем выявить некоторые характеристики этих чисел. Например, о равенстве каких-то двух переменных. Как бы нам переписать это уравнение так, чтобы какая-нибудь разница равнялась нулю?
Подсказка 3
Конечно, записав 100а-80b =a-b, получим, что разница a и b кратна 10, но так как обе переменные однозначны, то и их разность равна только нулю. Тогда а=b. Подставив в известное нам равенство и пользуясь однозначностью чисел, можем так же точно определить значения наших переменных
Пусть искомое число записано цифрами 
то есть
Запишем условие задачи:
Перепишем это равенство в виде:
Левая часть делится на 10, значит 
также делится на 10. В силу того, что 
и 
— однозначные числа, эта разность может быть
равна только 0, т.е. 
Подставив в полученное ранее равенство, получим
Итак, возможен только один вариант: 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Рассмотрим алгебраическое выражение 
содержащее переменные, скобки и операции умножения и вычитания. Числовые
константы не используются. Заменим один из знаков операции на 
другой — на 
Назовем полученное выражение
«формулой». Например, формулой будет выражение 
причем один из знаков обозначает разность, а другой -
умножение.
а) существует ли формула, которая при любых значениях переменных (и любом из смыслов знаков) дает значение 0?
б) существует ли формула, которая при любых значениях переменных дает значение 1 ?
Источники:
Пункт а), Подсказка
Попробуйте придумать такую формулу, в которой будет содержаться только одна переменная. Для этого надо вспомнить, когда a*a (где * - операция) дает ноль в разных случаях)
Пункт б), Подсказка
А теперь подумайте про четность чисел, и как она меняется или не меняется в зависимости от операций и от самих чисел) Вдруг можно подобрать такие числа что никогда не будет 1...
a) Рассмотрим формулу 
. Если 
- вычитание, то выражение тождественно равно 
. Если 
- умножение, то 
при
. Поэтому выражение 
равно 
при любом смысле знаков 
и 
. Действительно, если 
- вычитание, то
. Если же 
- умножение, то 
- вычитание, тогда 
.
б) Предположим, что переменным 
приданы четные значения. Тогда и 
, и 
, также являются чётными. Поэтому при
таких значениях переменных любая формула имеет чётное значение.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Многогранник 
изображен в ортогональной проекции на плоскость 
Докажите, что такой многогранник невозможен.
Источники:
Подсказка 1
У нас на картинке дополнительно нарисованы точки пересечения A₂, B₂, C₂ и D₂. Что их всех связывает?
Подсказка 2
Они получены как пересечение прямых из плоскости ABCD и прямых из плоскости A₁B₁C₁D₁. Тогда где должны лежать все эти точки?
Подсказка 3
На общей для этих плоскостей прямой! А теперь внимательно смотрим на рисунок)
.png)
Прямые 
и 
пересекаются в точке 
, лежащей в обеих плоскостях, 
и 
, то есть на их общей прямой. То же
верно для точек 
получающихся как пересечения одноименных рёбер. Значит, все эти точки должны лежать на одной прямой,
что не выполняется.
Если зафиксировать, например, точки 
, то можно построить изображение вершины 
(на рисунке это точка 
, которое
не совпадает с изображением точки 
на проекции.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Обозначим 
Найдите, чему равны минимум и максимум функций:
Источники:
Пункт а), Подсказка 1
Понятно, что если изначальное выражение обозначить за f(x), то теперь у нас выражение f(x³). Изменится ли минимум и максимум такой функции?)
Пункт б), Подсказка 1
Теперь попробуйте рассмотреть выражение f(-x). Оно будет почти таким же, как наше выражение, и задача решится)
Введём обозначение 
a) Имеем 
. Величина 
пробегает все числовые значения, значит, 
принимает такие же значения, как
б) Имеем 
, то есть 
, значит, эта функция принимает значения от 
до
а) 
б) 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
а) Может ли для некоторых 
оказаться, что
б) Может ли для некоторых 
оказаться, что
в) Могут ли при каких-то 
выполняться оба равенства?
Источники:
Подсказка 1
Вспомните, как выглядят свойства логарифма, вас в этой задаче пытаются немного запутать!
Подсказка 2
У нас две неизвестные и одно уравнение (в пунктах а и б по отдельности). Обычно когда переменных больше, чем уравнений, то у нас есть решения и их довольно много.
Подсказка 3
Чтобы придумать пример, можно взять a равным какому-то "хорошему" числу и попытаться решить уравнение относительно b. Таким образом вы найдёте примеры для пунктов а и б.
Подсказка 4
Теперь давайте подумаем про пункт в. У нас уже два уравнения и две неизвестные. Обычно это означает, что если решения и есть, то их мало, а может их и вовсе нет. Поэтому тут метод подбора уже скорее всего не сработает, нужно попытаться решить систему из двух уравнений...
Подсказка 5
У вас вряд ли получится решить эту систему так, как вы обычно решаете логарифмические уравнения, скорее всего, понадобятся оценки и понимание монотонности для доказательства того, что решений нет. Самый топорный способ: выразить a через b, подставить в другое уравнение, получить уравнение относительно b и показать (например, с помощью производной), что у него нет решений. Однако можно решить и более красиво через оценки...
Ясно, что числа 
и 
положительны.
a) Условие можно переписать в виде 
. Если 
, то 
, 
. Например,
при 
имеем 
, 
, 
.
б) Равенство сводится к соотношению 
. Например, при 
получаем, что 
в) Условие вида 
можно переписать в виде 
. Предположим, что пункты а) и б) одновременно выполняются.
Заданные неравенства можно переписать в виде
Из первого равенства следует, что 
и 
имеют одинаковый знак. То есть либо они оба положительны (тогда
), либо оба отрицательны (
). В силу положительности чисел 
и 
имеем 
.
Если 
Если 
Пришли к противоречию.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
У Маши есть копилка, куда она каждую неделю кладет купюру в 50 или 100 рублей. В конце каждых 4 недель она выбирает из копилки купюру наименьшего достоинства и дарит сестренке. Через год оказалось, что сестренке она отдала 1250 рублей. Какое минимальное количество денег могло накопиться за это время у нее самой?
Источники:
Подсказка 1
Для начала давайте посчитаем, сколько раз за год Маша будет дарить купюры сестре?
Подсказка 2
Верно, 13 раз! А теперь вспомним, что суммарно она подарила 1250 рублей, при том, что каждый раз она дарила либо 100, либо 50 рублей! Тогда, сколько раз она подарила сестре 50 рублей?
Подсказка 3
Верно, она подарила 50 рублей ровно один раз! А в какой временной период это могло произойти, учитывая, что нам нужно минимизировать сумму в копилке?
Подсказка 4
Да, чтобы сумма была минимальна, она должна была отдать 50 рублей в последний — 13-ый раз! Тогда, какая минимальная сумма может остаться у неё в копилке?
Назовем 4-недельный промежуток “месяцем”, таких “месяцев” в году 
. Если бы все подаренные Машей купюры были
сторублевыми, сестра получила бы 
рублей. Значит, Маша двенадцать раз дарила по 
рублей и один — 50. Если в какой-то
“месяц” Маша отдала 
р., значит, и в копилке у неё были только сотни. То есть за эти 
“месяцев” она оставила себе
р.
Итак 
-рублевки могли появиться у Маши только в один месяц из 
. Если за “месяц” в копилку попала только одна, она ее подарила
в конце месяца, так что ее "доход"был по-прежнему 
р.
Если в какой-то “месяц” Маша откладывает не менее двух 
-рублевых купюр, она отдает их сестре в течение последовательных
“месяцев”, что противоречит условию. Исключение - случай, когда они все пришли в 
-м “месяце”, тогда она не успеет их отдать. Итак, в
этом случае первые 
“месяцев” Маша получала по 
рублей, а в последний могла положить в копилку от нуля до трех 
-рублевых
купюр, то есть недобрать до 
рублей максимум 
р.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В неравнобедренном треугольнике 
провели высоту 
медиану 
и биссектрису 
Точки 
и 
— ортогональные
проекции вершин 
и 
на прямую 
Докажите, что точки 
и 
лежат на одной окружности.
Источники:
Подсказка 1
Давайте для начала попробуем продлить биссектрису до пересечения с описанной окружностью ABC в точке X. Что теперь можно вспомнить про эту точку?
Рассмотрим без ограничения общности 
Тогда точка 
лежит внутри треугольника 
, а точка 
вне
его.
Первое решение.
Построим описанную окружность треугольника 
, тогда продолжение биссектрисы 
пересечет ее в точке 
,
являющейся серединой дуги 
. Тогда 
, то есть медиана 
равнобедренного треугольника 
будет также и
высотой.
Так как 
, то получим, что 
. Так как 
аналогично получаем, что
.
Но углы 
равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.
В итоге 
. Но из равенства углов 
следует, что точки 
лежат на одной
окружности.
Второе решение.
Обозначим через 
и 
точки пересечения прямых 
и 
и 
соответственно.
Поскольку 
— биссектриса и 
треугольники 
и 
— равнобедренные, и значит, 
и
В треугольнике 
точки 
и 
— середины сторон 
и 
поэтому 
— средняя линия, и значит, 
Аналогично, 
Следовательно, 
Возможны два случая:
a) 
Точки 
и 
лежат на одной окружности с диаметром 
поэтому четырёхугольник 
— вписанный.
Значит,
Следовательно, точки 
и 
лежат на одной окружности.
б) 
тогда точки 
и 
лежат на одной окружности с диаметром 
поэтому четырёхугольник 
—
вписанный. Значит,
Следовательно, точки 
и 
лежат на одной окружности.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма нескольких натуральных чисел, в записи каждого из которых участвуют только цифры 
и 
равна 
(
семёрки).
Какое наименьшее число слагаемых может быть в этой сумме?
Источники:
Подсказка 1
Может нам как-нибудь немного упростить себе задачу? Например, упростив сумму чисел. Число с 2022 одинаковыми цифрами должно делиться на 3, тогда составим уравнение, где сумма n чисел равна 77...7 и поделим обе части
Подсказка 2
В новом уравнении каждое из чисел сумме в 3 раза меньше соответствующего элемента из первого уравнения, то есть все числа состоят из единиц и нулей и в сумме дают 259259...259. Как могла получится девятка в таком числе?
Подсказка 3
Верно, эти девятки говорят о том, что число получалось из суммы как минимум 9 чисел (при меньшем количестве суммы единиц не могло бы хватить). Остаётся только подобрать подходящий пример)
Пусть 
где числа 
записываются только нулями и тройками. Сумма цифр числа 
равна 
и
делится на 
Тогда
где числа 
записываются только нулями и единицами. Поскольку 
содержит девятку, наименьшее количество слагаемых в
этой сумме равно 
Эти слагаемые легко находятся для числа 
Умножая на три, получим:
Теперь "периодическим"повторением этой записи получаем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— нечётное простое число. Найдите все целые 
и 
такие, что
Источники:
Подсказка 1
Такс, нам говорят, что p простое. Это очень сильное условие, поэтому давайте попробуем перенести p в правую часть, а всё остальное в левую! И после этого попробуем левую часть разложить на множители.
Подсказка 2
Да, она раскладывается не так уж и легко. Так что, попробуйте вынести (x+y), а дальше подобрать не так сложно)
Подсказка 3
В итоге, должно получиться равенство (x+y)(x-y) ² = -p³. А теперь нам сильно помогает условие на простоту p, ведь мы теперь точно понимаем, чему может равняться каждая из скобок! Всего два случая, в первом квадрат это ±p, а во втором ±1. Осталось решить каждый из случаев
Подсказка 4
Верно, для того, чтобы решить каждую систему, достаточно просто сложить или вычесть её уравнения!
Перепишем уравнение в виде 
и разложим левую часть на множители:
Таким образом, числа 
и 
являются степенями простого числа 
. Но 
— чётная степень 
значит, множитель
— это нечётная степень 
и так как 
то
В первом случае имеем
Во втором
Так как 
— нечётное, то числа 
и 
в этих наборах — целые.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Функция 
для всех действительных 
удовлетворяет неравенствам
Найдите все такие функции 
.
Заметим, что 
, то есть 
. С другой стороны 
по условию, а значит, 
Теперь заметим, что 
а значит, 
Теперь запишем неравенство 
Зная, что 
получаем неравенство 
то есть
Следовательно, 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Функция 
, заданная на всей числовой оси, при всех действительных 
и 
удовлетворяет равенству
Известно, что 
. Чему равно 
Источники:
Подсказка 1
Хочется подставить какие-то числа вместо x и y, чтобы использовать f(1/2)=1.
Подсказка 2
Подставим x=1, y=1/2 и найдём f(1)=1. Теперь хочется подставить что-то вместо y...
Подсказка 3
Подставляем y=1 и получаем рекурренту, из которой легко находится f(2020).
Положим 
, тогда 
, откуда 
. Теперь положим 
, тогда 
. Теперь очевидно, что
.
