Тригонометрия на САММАТе —Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тригонометрия на САММАТе

Тема САММАТ (Самарская математическая олимпиада)

Тригонометрия на САММАТе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела саммат (самарская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77698

Решите уравнение:

x x 2⋅cos(2⋅2021 )− 3⋅cos(2021 )+1 =0

Источники: САММАТ - 2021, 11.6 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сделаем замену t = 2021^x. Как можно преобразовать получившееся равенство? Какие известные формулы применить?

Подсказка 2

Формулу понижения степени! Справа ноль, тогда хочется попробовать как-то разложить левую часть на множители...

Подсказка 3

(cos(t) - 1)(4cos(t) + 1) = 0. Разберем случаи! Тогда решать уже будет не так сложно :) Не забываем про ОДЗ!

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $t= 2021x,t>0.$ Тогда

2 2cos(2t)− 3cos(t)+1= 0⇔ 4cos (t)− 3cos(t)− 1 =0,

(cos(t)− 1)(4cos(t)+ 1)= 0.

1) $cos(t)= 1⇒ t= 2πn,n∈ℤ,n ≥1,$ чтобы $t> 0⇒ x =log2021(2πn),n ∈ℕ.$

2) $[ t=arccos(−0,25) cos(t)= −0,25 ⇒ t=± arccos(−0,25)+2πn,n∈ ℤ n≥ 1, чтобы t>0.$

$[ x= log (arccos(− 0.25)) x= log2021(± arccos(−0.25)+ 2πn),n∈ ℕ. 2021$

Ответ:

$log (arccos(−0.25)),log (2πn),log (±arccos(−0.25)+ 2πn),n∈ ℕ 2021 2021 2021$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#70303

Решите уравнение

∘ ∘ sinx =2sin 20 sin (170 − x)

Источники: САММАТ-2017, 11.1 (см. sammat.samgtu.ru)

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой приведения и формулой синуса суммы:

∘ ∘ ∘ ∘ sin(170 − x)= sin(x +10 )= sinxcos10 + cosxsin10

Исходное равенство примет вид:

∘ ∘ ∘ sinx= 2sin20 (sinxcos10 +cosxsin10) ⇔ ⇔ sinx= 2sin20∘sinxcos10∘ +2sin20∘cosxsin10∘ ⇔ ⇔ sinx(1− 2sin20∘cos10∘)= 2sin20∘cosxsin 10∘

Воспользуемся формулами суммы и разности синусов:

1 − 2sin 20∘cos10∘ =1− sin30∘− sin10∘ = 1− 1− sin10∘ =sin30∘ − sin10∘ = ∘ ∘2 = 2sin10 cos20

Равенство примет вид:

2sin10∘cos20∘sinx = 2sin20∘ cosxsin10∘ ⇔ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ⇔ cos20 sin x− sin20cosx= 0⇔ sin (x− 20 )=0 ⇔ x= 20 +180n.

Ответ:

${π+ πn,n ∈ℤ} 9$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел