Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вершины правильного 11-угольника раскрашены в 2 цвета: красный и синий. Может ли оказаться так, что для каждой вершины 
этого
11-угольника найдутся такие красные вершины 
и 
а также синие вершины 
и 
что выполняются равенства 
и
Источники:
Подсказка 1
В задаче как-будто бы слишком многого хотят от картинки. Вот прямо она вся такая симметричная и для каждой вершины найдется две пары точек, которые от нее равно еще и равноудалены. Прямо очень сильное требование, даже слишком. Подумаем, с чем могут быть проблемы. Как минимум, с количеством точек одного из цветов, так как пар отрезков одноцветных должны быть хотя бы 11.
Подсказка 2
Тогда, если мы предполагаем, что у нас будет противоречие с количеством пар вершин, то удобно будет рассмотреть цвет, вершин которого, меньше. Пусть, это красный, тогда его вершин не более чем 5, а значит отрезков между ними, не более 10 (полный граф на 5 вершинах). Ого, а что тогда можно увидеть, если подумать о том, как связаны «красный» отрезок и точка, которая равноудалена от его концов?
Подсказка 3
Тогда можно увидеть противоречие. Потому что каждому отрезку между красными вершинами сопоставляется ровно одна точка, которая от них равноудалена (в силу того, что кол-во вершин нечетно). Значит, у нас есть не более 10 отрезков и 11 точек, к каждой из которых должен сопоставлять отрезок. Пришли к противоречию.
Пусть такая ситуация возможна. Заметим, что вершин какого-то цвета, например, красного, не больше 5. Тогда количество отрезков, у
которых оба конца красного цвета, не больше 
С другой стороны, для каждой вершины 
11-угольника найдутся такие вершины 
и 
красного цвета, что 
Заметим,
что точка 
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку 
и никакая другая вершина 11-угольника на этом перпендикуляре не
лежит. Значит, количество отрезков с концами в вершинах красного цвета должно быть не меньше количества вершин, т.е. 11. Противоречие
для вершин с общими красными концами. В силу «симметрии» задачи аналогичные рассуждения можно выполнить и для отрезков с обоими
синими концами.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В школе математики и программирования лестница с первого этажа на второй этаж состоит из двух пролетов, состоящих из 8 и 9 ступенек. Сколькими способами десятиклассник Вася может спуститься по ней, если он может шагать на следующую ступеньку, или перешагивать через ступеньку, или прыгать через две ступеньки?
Источники:
Подсказка 1
На сколько изменится количество способов, если Вася будет стоять на одну ступенью ниже? А на две? Попробуем задать количество способов рекуррентно)
Подсказка 2
Заметим, что количество способов при k ступеньках равно сумме количеств способов при k-1, k-2, k-3 ступеньках. Осталось лишь начать считать "снизу"!
Обозначим число способов спуститься по лестнице из 
ступенек за 
. По условию Вася может шагать на одну, две или три ступеньки
вниз с текущей, поэтому 
Учитывая, что 
(у Васи один способ — стоять на месте), 
последовательно находим
Так как на каждом из двух пролетов лестницы десятиклассник Вася спускается отдельно от другого пролета, нужно перемножить
полученные числа вариантов 
и 
так что искомое число вариантов равно 
