Уравнения, неравенства и системы на Питергоре —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения, неравенства и системы на Питергоре

Тема ПитерГор (Санкт-Петербургская олимпиада)

Уравнения, неравенства и системы на Питергоре

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела питергор (санкт-петербургская олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71902

Положительные иррациональные числа $α$ и $β$ таковы, что при всех $x >0$ выполнено равенство $[α[βx]]= [β[αx]].$ Докажите, что $α =β.$

Источники: СпбОШ - 2018, задача 11.6(см. www.pdmi.ras.ru)

Показать доказательство

Введём обозначение: будем считать, что нам даны два таких иррациональных параметра $α$ и $β,$ что при всех $x >0$ выполнено равенство $1 1 -11 [α[βx]]= [β [αx]].$ По-прежнему требуется доказать, что $α =β.$
Обозначим через $⌈x⌉$ верхнюю целую часть числа $x,$ т.е. наименьшее целое число, которое больше либо равно $x.$ Положим $1 1 fα,β(x)= [α[βx]]$ и найдём, при каких натуральных $n$ выполняется неравенство $fα,β(x) ≥n.$ Имеем

[1[ 1 ]] 1 [1 ] fα,β(x)≥n ⇔ α- βx ≥n ⇔ α- βx ≥ n⇔

[ ] [ ] ⇔ 1x ≥ αn ⇔ 1x ≥ ⌈αn⌉⇔ 1x ≥⌈αn⌉⇔ x ≥β⌈αn⌉. β β β

Аналогично неравенство $fβ,α(x)≥ n$ равносильно неравенству $x ≥α ⌈βn⌉.$ Поскольку $fβ,α(x)= fα,β(x),$ мы приходим к выводу, что при всех натуральных $n$ выполняется равенство $β⌈αn⌉=α⌈βn⌉,$ или