Тема . ПитерГор (Санкт-Петербургская олимпиада)
Уравнения, неравенства и системы на Питергоре
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела питергор (санкт-петербургская олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70347

Числа x  и y  удовлетворяют условиям x2+ y2 = 1  и 20x3− 15x =3.  Найдите |20y3− 15y|.

Источники: СпбОШ - 2015, задача 11.3(см. www.pdmi.ras.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Подберём α  таким образом, чтобы выполнялось равенства x= sin(α),y = cos(α).  Тогда                   3          3
sin(3α)= 3sin(α)− 4sin (α)=3x− 4x = −3∕5.  Следовательно,

   3           3
|20y − 15y|= |20cos(α)− 15cos(α)|=

            ∘-----2---
= |5cos(3α)|= 5 1 − sin (3α) =4

Второе решение.

Найдём значение выражения |4y3− 3y|.  Для этого достаточно найти значение его квадрата, а потом извлечь корень. Но квадрат этого выражения равен

  3    2   2     2   2   4    2
|4y − 3y|= y (4y− 3) =y (16y − 24y + 9).

Подставим 1− x2  вместо y2,  преобразуем и получим выражение

    6     4   2        2      2     (3)2   16
− 16x + 24x − 9x + 1= 1− x(4x− 3) = 1− 5   = 25-

Следовательно,           ()2
|4y3− 3y|2 = 45 ,  откуда и находим ответ.

Ответ:

 4

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!