Докажем, что все значения многочлена в целых точках кратны . В самом деле, среди подряд идущих целых чисел , , …, есть хотя бы кратных двум, хотя бы кратных , и т.д. Значит суммарная степень вхождения в их произведение не меньше , что и требовалось.

Поделим на с остатком: . Поскольку старший член равен 1, , причем будет удовлетворять тем же условиям, которым удовлетворяет , и к тому же будет иметь степень не выше . Поделив его на , мы получим многочлен степени не выше , значения которого подряд идущих целых точках целые. Из этого следует, что целыми являются все его значения в целых точках (это доказывается по индукции с использованием разностного многочлена). Таким, образом, у многочлена все значения в целых точках кратны , а тогда это верно и для многочлена .

Ивану достаётся многочлен нечетной степени, поэтому он не может проиграть. Однако Кощей тоже не может проигрывать: для этого ему достаточно каждый раз выбирать положительный корень. Заметим, что свободный член всегда равен Легко проверить, что при такой стратегии Кощея Ивану будут доставаться многочлены нечетной степени с чередующимися знаками коэффициентов (старший - положительный), и поэтому у них есть лишь положительные корни; а Кощею будут доставаться многочлены четной степени с положительным старшим коэффициентом и свободным членом поэтому у них существует положительный корень

Пусть имеет корни где Так как многочлен имеет ровно корней, а уравнение имеет не более двух решений, то не более чем корней лежат за пределами — множества значений Аналогично, так как имеет ровно 2700 корней, а уравнение — не более двух решений, то не более чем корней лежат за пределами — множества значений Значит, не менее

корней лежат на откуда следует, что среди них есть два на расстоянии менее

Докажем, что делится на все простые числа, меньшие из этого будет следовать, что либо либо оно по модулю больше

Действительно, пусть не кратно какому-то меньшему Тогда не может являться решением ни одного из уравнений из условия (левая часть не делится на а правая часть делится).

Но очевидно, что решения уравнений должны давать попарно различные остатки при делении на при условии, что эти остатки ненулевые(иначе вычтем из первого уравнения второе, левая часть сравнима с 0 по модулю а правая нет). Однако уравнений у нас а возможных остатков — противоречие.

Нам понадобится следующая стандартная лемма.

Лемма. Предположим, что — вещественные числа, причем и многочлен степени удовлетворяет равенству Тогда где

Доказательство. Положим Тогда

Приравнивая в полученном уравнении коэффициенты при степенях видим, что все они, кроме коэффициента при равны

Ясно, что многочлен удовлетворяет условию при любом а многочлен, равный ненулевой константе, не удовлетворяет условию ни при каком Пусть теперь степень многочлена равна и

Сделаем несколько наблюдений, не пользуясь соображениями целочисленности из условия задачи. Будем считать, что (для рассуждения аналогичны). Рассмотрим равенство

как уравнение относительно Многочлен монотонен и непрерывен на некотором луче вида Поэтому при больших положительных это уравнение всегда имеет решение (непрерывно) зависящее от Очевидно, что при При четном для больших существует также решение в этом случае при

Рассмотрим случай Пусть при некотором вещественном При фиксированном и найденном из уравнения рассмотрим переменный вещественный параметр для которого

Положим (для этого значения коэффициент при равен ).

Мы утверждаем, что существует

Доказательство. Рассуждая по определению, выберем числа Тогда при и правая часть формулы при достаточно больших принимает большие по модулю значения разных знаков, в то время как при правая часть формулы относительно мала по сравнению с этими значениями. В силу монотонности многочлена получаем, что лежит между и

Для больших для которых аналогично получаем, что имеет некоторый конечный предел

Рассмотрим теперь большое натуральное Среди чисел два имеют одинаковый знак. Если, например, и отрицательны, то

есть сумма целого числа и функции от стремящейся к при возрастании Отсюда получаем, что число целое. Аналогичное рассуждение верно и для других вариантов, и во всех случаях получаем, что — целое число. Тогда целочисленные выражения имеющие предел, должны быть постоянными при больших Таким образом, хотя бы одно из равенств , имеет место при бесконечно многих (отметим, что из этого следует целочисленность или соответственно ). Значит, либо многочлен либо многочлен имеет бесконечно много корней, следовательно, он тождественно равен Применяя лемму, получаем, что где — рациональное число.

Для решения задачи заметим, что с точностью до множителя (не влияющего на существование целого такого что ), можно считать, что где и — взаимно простые целые числа. Тогда равенство означает, что знак минус возможен при четном Сразу ясно, что — рациональное число, т.е. — точная -я степень. Пусть Получаем Итак, при годится любое целое в противном случае при нечетных нужно, чтобы было кратно а при четных — чтобы было кратно