Уравнения, неравенства и системы на САММАТе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения, неравенства и системы на САММАТе

Тема САММАТ (Самарская математическая олимпиада)

Уравнения, неравенства и системы на САММАТе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела саммат (самарская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74902

Докажите, что для положительных $a$ и $b$ имеет место неравенство

√ - √3- 5√-- 2 a+3 b≥ 5 ab

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас стоят коэффициенты 2 и 3, а справа стоит 5..Наверное, нужно как-то применить нер-во о средних к пяти числам, а не к двум..

Подсказка 2

Разбейте 2 и 3 как 1+1 и 1+1+1)

Показать доказательство

Применим неравенство о средних для пяти чисел (они положительные):

√- 3√- √- √ - 3√- 3√- 3√- 5√ -- 2 a+ 3 b= a + a+ b+ b+ b ≥5 ab

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69930

Найти решение уравнения в натуральных числах $x$ и $y :$

∘ 2---2------------ ∘-2---2------------ x +y − 2x− 6y +10+ x + y − 18x − 6y+ 90− 10 =0

Источники: САММАТ-2023, 11.7 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас в задаче присутствует равенство √a+√b=c. Хочется возвести в квадрат, но, если возводить прямо так, у нас получится произведение корней √ab. Поэтому разумно было бы перенести один корень направо и возвести в квадрат...

Подсказка 2

После возведения в квадрат и приведения подобных, можно оставить корень в одной стороне, а все остальное отправить в другую и опять возвести в квадрат. Можно ли как-то после этого удачно сгруппировать слагаемые?

Подсказка 3

Получается следующее: (x-5)²/5²+(y-3)²/3²=1. Но тогда |x-5|≤5 и |y-3|≤3 ⇔ 0≤x≤10 и 0≤y≤6. Осталось перебрать x и y и найти искомые решения!

Показать ответ и решение

Если выделить полные квадраты под корнями, то уравнение можно записать в виде

∘-------------- ∘-------------- (x− 1)2+ (y− 3)2+ (x− 9)2+ (y− 3)2 = 10

Этому уравнению удовлетворяют такие пары точек $(x,y)$ , сумма расстояний от которых до точек $(1,3)$ и $(9,3)$ равна $10.$

Множеством точек плоскости, обладающих таким свойством, является эллипс. По его фокусам легко восстановить канонический вид уравнения (центр эллипса находится в середине между фокусами, координаты считаются как полусумма, соответственно считаются и длины больших полуосей):

(x− 5)2 (y− 3)2 --52--+ --32-- =1

Перебором $5≤ x≤ 10$ и $3≤y ≤6$ можно найти решения $(5,6)$ и $(10,3)$ , а им из симметрии соответствуют пары $(5,0)$ и $(0,3)$ . В ответ же записываем только пары, у которых обе компоненты натуральные.

Ответ:

$(10,3),(5,6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74952

Решите систему уравнений

(| √yz ||||| x = y+-z ||{ √xz || y = x+-z ||||| √yx |( z = y+-x

Источники: САММАТ-2022, 11.8 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Система циклическая, поэтому попробуем найти какие-то «парные» решения и поставим какие-нибудь ограничения на переменные. Что нам напоминает правая часть каждого из уравнений?

Подсказка 2

Заметим, что сменив знак у каждой из переменных, тройка остается решением. Значит, мы можем считать, что все переменные положительны. А правая часть каждого из уравнений напоминаем нам неравенство о средних! Тогда попробуем лучше оценить каждую из переменных)

Подсказка 3

Заметим, что каждая из переменных не больше 1/2(почему?). Теперь хочется как-то связать равнения системы…а что если выполнить преобразования, после которых мы сможем что-то сократить? Обратим внимание на наличие корня в числителях! Остается дело за малым)

Показать ответ и решение

Отметим, что числа $x,y,z$ одного знака, при этом если тройка $(x;y;z)$ — решение системы, то $(−x;− y;−z)$ также решение.

Пусть числа $x,y,z$ положительны. Из неравенства о средних

√ -- a+ b≥2 ab

следует, что

√ab- 1 a+ b ≤ 2

Следовательно, каждое из чисел числа $x,y,z$ не больше $1 2.$

Перемножив все уравнения системы, получим

(x+ y)(y+ z)(z+ x)= 1

Но сумма любых двух из чисел $x,y,z$ не превосходит 1. Следовательно,

x +y = y+ z = z+ x= 1

Значит $x =y =z = 1. 2$ Так как $(−x;−y;−z)$ также будет решением, то $x =$ $y =z =− 1. 2$

Ответ:

$(1;1;1), (− 1;− 1;− 1) 2 2 2 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74951

Пусть задано множество остатков от деления на 11, $A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$ . Пусть над этим множеством задана степенная функция четвертой степени $($ т.е. все значения переменных и коэффициенты принадлежат только множеству $A)$

4 3 2 f(x)= x + 3x +7x + 6x+10

Найдите элемент множества $A,$ являющийся суммой корней уравнения $f(x)= 0.$

Источники: САММАТ-2022, 11.7 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Остатков не так много, поэтому значения функции можно даже перебрать ;)

Подсказка 2

Приходим к тому, что корней всего 3 :)

Показать ответ и решение

Просто переберём остатки по модулю 11:

f(0)≡ 10⁄≡ 0mod 11

f(1)≡5 ⁄≡0 mod11

f(2)≡2 ⁄≡0 mod11

f(3)≡ 0mod 11

f(4)≡ 0mod 11

f(5)⁄≡ 0mod 11

f(6)⁄≡ 0mod 11

f(7)⁄≡ 0mod 11

f(8)≡ 0mod 11

f(9)⁄≡ 0mod 11

f(10) ⁄≡0 mod11

Итак, $f(3)≡0 mod11,f(4)≡ 0mod 11,f(8)≡ 0mod 11.$

Так как многочлен степени 4, то какой-то корень кратный. Убеждаемся, что

(x4+ 3x3 +7x2+ 6x +10)= (x − 3)(x − 4)2(x− 8) mod11

Значит, сумма равна

3+4 +4+ 8≡ 8mod 11

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74950

Докажите, что для $a< 1,b<1,c< 1,a +b+ c≥ 1 2$ выполняется неравенство

125- (1 − a)(1− b)(1− c)≤ 216

Источники: САММАТ-2022, 11.6 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дали неравенство на сумму чисел, а попросили доказать неравенство про произведение. Какое известное неравенство можно попробовать применить?

Подсказка 2

Верно, неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом! Но в нём извлекают корень из произведения, поэтому давайте тоже его извлечём, а потом обратно в куб возведём

Показать доказательство

Так как $a< 1,b <1,c< 1,$ то $1− a >0,1− b >0,1− c >0.$ Используя известное неравенство о средних, получим

3∘--------------- (1− a)+-(1-− b)+-(1−-c) a+-b+c- 5 (1− a)(1− b)(1− c)≤ 3 = 1− 3 ≤6

при условии, что $1 a+ b+c≥ 2.$

Следовательно, получили

∘ --------------- 5 3 (1− a)(1− b)(1− c)≤ 6

Возведём в куб последнее неравенство и получим требуемое неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74949

Решить уравнение

∘-2------- ∘-2--- 3√---- √3----- x + 4x− 2− x + 6= x +3− 3x − 1

Источники: САММАТ-2022, 11.5 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Преобразуем равенство так, чтобы получилось равенство сумм, а после - попробуем рассматривать обе части равенства как функции. Что интересного можно заметить?

Подсказка 2

Заметим, что обе части можно выразить как одну и ту же функцию, но от разных переменных: от 3 и 2x - 1. Попробуем тогда исследовать функцию и найти ее корни!

Подсказка 3

Функция оказывается монотонной...подумаем, что же это означает)

Показать ответ и решение

Обозначим функции

∘-2---- 3√---- F (x,y)= x + 2y+ x+ y, g(x) =3, h(x)= 2x − 1,

тогда

∘-2--- 3√---- ∘-2------- 3√----- F (x,g(x))= x + 6+ x +3, F (x,h(x))= x + 4x− 2+ 3x− 1

Поэтому исходное уравнение можно записать в виде

∘x2+-4x−-2− ∘x2+-6= 3√x-+3− √33x-− 1

F(x,g(x))= F(x,h(x))

Пусть $x0$ — корень исходного уравнения, тогда $x0$ также является корнем уравнения

F (x0,g(x))= F(x0,h(x))

Но так как функция

∘------ √----- f(y)=F (x0,y)= x20+ 2y+ 3x0+ y

является строго возрастающей по переменной $y$ при всех $x2 y ≥ −-02 ,$ тогда полученное уравнение равносильно уравнению

F(x0,g(x))= F (x0,h(x))⇔ g(x)= h(x)

2x− 1= 3⇔ x0 = 2

Нетрудно проверить, что $x0 = 2$ попадает в область допустимых значений и является корнем исходного уравнения:

∘ 2--------- ∘-2--- √-- √-- 3√- √3- 3√---- 3√------ 2 +4⋅2− 2− 2 + 6= 10− 10= 0= 5 − 5= 2+ 3− 3 ⋅2 − 1

Ответ: 2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#74946

Решите неравенство:

( (-x-))2020 ( ( -x-))2022 2022 4 1− ln 2021 + 1+ ln 2021 ≥ 2

Источники: САММАТ-2022, 11.2 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Очень напрашивается замена страшного логарифма, поэтому давайте будем доверять своим желаниям и сделаем её. Пусть это t. Тогда так как при t = ±1 получается равенство, можно рассмотреть случаи расположения t относительно -1 и 1

Подсказка 2

Можно воспользоваться знанием про равенство при |t| = 1 и оценить левую часть при помощи этого.

Подсказка 3

Сразу сумму скобочек неудобно оценивать, но их можно оценить по отдельности: в каждом из случаев получается, что каждая скобочка больше или меньше 2 в какой-то степени, а в сумме удачно получается 2²⁰²²! А дальше не забываем про обратную замену и выписываем нужные х в ответ

Показать ответ и решение

Пусть $t= ln (-x-) , 2021$ тогда

2020 2022 2022 4(1− t) + (1+t) ≥ 2

Рассмотрим случаи:

$1)$

2020 2022 2022 2022 t≥ 1⇒ 4(1− t) +(1+ t) ≥ (1 +t) ≥2

$2)$

t≤ −1⇒ 4(1− t)2020+(1+ t)2022 ≥ 4(1 − t)2020 ≥22022

$3)$

−1< t< 1

( ( ) ( ) ) 4(1− t)2020+ (1+ t)2022 =22022 1−-t 2020+ 1+-t 2022 < 2 2

( 1− t 1+t) <22022 -2--+ -2-- = 22022

Так как

0< 1−-t<1, 0< 1+-t< 1 2 2

при $− 1< t<1.$

Следовательно, при $− 1< t< 1$ неравенство не выполнятся.

Тогда

⌊ ln(-x-) ≥ 1 |⌈ (2021) ln -x-- ≤ −1 2021

( ] x ∈ 0;2021- ∪[2021e;+ ∞) e

Ответ:

$(0;2021]∪ [2021e;+∞ ) e$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#72732

Найдите пары натуральных чисел $m$ и $n$ , для которых выполняется равенство:

5mn-- НОК (m,n)− 2НО Д(m, n)= 7

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомним равенство mn = НОД(m,n) * НОК(m,n). Тогда пусть НОК(m,n) = x, НОД(m,n) = y. Теперь наше уравнение свелось к уравнению относительно x и y в целых числах. Какие решения оно может иметь?

Подсказка 2

После преобразований у нас получится уравнение 7x - 14y - 5xy = 0. Попробуйте разложить его на множители так, чтобы в правой части осталось целое число!

Подсказка 3

Уравнение можно записать в виде x(7 - 5y) - 14y = 0. Теперь у первого слагаемого есть скобочка. Попробуйте такую же получить и у второго!

Подсказка 4

Если умножить уравнение на 5, то получится 5x(7 - 5y) + 14 * (-5y) = 0. Теперь добавим с обеих сторон 14 * 7. Получается (7-5y)(5x+14) = 14*7. Какие решения имеет это уравнение?

Показать ответ и решение

Как известно,