Графики функций при помощи элементарных методов —Каталог задач по Высшей математике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70034

Построить график в полярной системе координат

r = 1 + cos2φ

Показать ответ и решение

Функция $cos5φ$ является периодической с периодом $T = π$ , поэтому достаточно построить кривую для $0 ≤ φ < π$ , а затем используя периодичность, построить её для $π ≤ φ < 2π$ . Обозначим эти области на графике

$PIC$

На отрезке $[0, π2]$ функция $r = 1+ cos2φ$ убывает от 2 до 0; на отрезке $[π2,π ]$ функция возрастает от 0 до 2.

$PIC$

Используя периодичность, строим кривую в оставшихся углах, обозначенных ранее.

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#70032

Построить график в полярной системе координат

2 r = ----- sin φ

Показать ответ и решение

Осуществим переход от полярной системы к декартовой.

∘ ------- r = x2 + y2

y x y = rsinφ → sin φ = --= ∘-------- r x2 + y2

∘ ------- ∘ -2---2- r = --2--→ x2 + y2 = 2--x-+-y--→ y = 2 sin φ y

Путём преобразований мы получили график прямой, параллельной оси $Ox$ и проходящей через точку $(0,2)$

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#70031

Построить график в полярной системе координат

r = cos5φ

Показать ответ и решение

Функция $cos5φ$ является периодической с периодом $T = 25π$ , поэтому достаточно построить кривую для $2π- 0 ≤ φ < 5$ , а затем используя периодичность, построить её для $2π- 4π 5 ≤ φ < 5$ , $4π- 6π 5 ≤ φ < 5$ , $6π5 ≤ φ < 8π5-$ , $8π5-≤ φ < 2π$ . Обозначим все эти области на графике

$PIC$

На отрезке $[0,1π0]$ функция $r = cos5φ$ убывает от 1 до 0; на интервале $(1π0, 31π0)$ $r < 0$ , поэтому нет точек линии, расположенных внутри угла $π-< φ < 3π 10 10$ ; на отрезке $[3π, 2π] 10 5$ функция возрастает от 0 до 1.

$PIC$

Используя периодичность, строим кривую в остальных углах, обозначенных ранее.

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70030

Построить график в полярной системе координат

r = 2φ

Показать ответ и решение

Найдем значение $r$ при некоторых значениях $φ$ . Для удобства, пусть они будут кратны $π 2$ :

$φ = 0 : r = 0$

$π φ = 2 : r = π$

$φ = π : r = 2π$

$φ = 3π: r = 3π 2$

$φ = 2π : r = 4 π$

Можно попытаться изобразить эскиз графика для $0 ≤ φ ≤ 2π$ . Получим:

$PIC$

Теперь рассмотрим луч с некоторым наклонном $φ0$ : $0 ≤ φ0 ≤ 2π$ . И найдем все его пересечения с графиком функции. При $φ = φ0 + 2πk$ значение $r = 2φ0 + 4πk$ где k - целое неотрицательное число. Это означает, что два соседних пересечения будут всегда находится на одинаковом расстоянии, равным $(φ0 + 4π(k + 1))− (φ0 + 4πk) = 4π$ .

Таким образом, график будет выглядеть следующим образом:

$PIC$

Данная фигура называется спиралью Архимеда. Её особенность заключается в том, что расстояние $r$ пропорционально углу поворота $φ$ (в этой задаче коэффициент пропорциональности равен 2)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#70029

Построить графики функций: a) $sin(arcsin x)$ ;
b) $arcsin(sin x)$ ;
c) $sin(arccos x)$ ;

Показать ответ и решение

a) Синус является всюду определенной функцией, а вот арксинус, который стоит внутри - определен только для $x ∈ [− 1,1]$ . Следовательно, эта композиция $sin(arcsin x)$ , разумеется, равна $x$ , но только на своей области определения - то есть на $[− 1,1]$ . Следовательно, график получаем вот такой:

$PIC$

b) Арксинус определен только для $x ∈ [− 1,1]$ , но внутренняя функция - синус - и принимает значения лишь из этого диапазона. Следовательно, $arcsin(sinx)$ определен на всём $ℝ$ , и график, заметьте(!) будет уже другой!

А именно, поскольку при $x ∈ [−π, π ] 2 2$ по определению арксинуса будем иметь, что

arcsin(sinx ) = x

Далее, при $x ∈ [π, 3π] 2 2$ нам нужно будет прибегнуть к небольшому трюку, чтобы считать арксинус от синуса:

arcsin(sinx) = arcsin(sin (π − x)) = π − x

Поэтому на этом участке у нас будет отрезок прямой $y = π − x$ . Ну а дальше - осталось просто повторить всё по периоду, поскольку наша функция, очевидно, $2π−$ периодична.

$PIC$

c) Ясно, что, поскольку у арккосинуса - это $x ∈ [− 1,1]$ , то наш график будет строиться только для этих аргументов.

Далее, понятно, что при $x ∈ [− 1,1]$ по основному тригонометрическому тождеству:

sin2(arccos x)+ cos2(arccos x) = 1

Однако не забываем, что $cos(arccosx) = 1$ , таким образом,

------ sin (arccosx) = ∘ 1 − x2

(мы берем корень только с плюсом, потому что аркконсинус возвращает только углы от $0$ до $π$ , а синус от этих углов - неотрицателен)

Таким образом, искомый график - это всего лишь график $√ ------ y = 1 − x2$ - то есть верхняя половина единичной окружности с центром в начале координат.

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#70028

Построить график функции

1 y = sin -- x

Показать ответ и решение

Для начала обозначим область определения функции. Она равна $(− ∞, 0)∪ (0,+ ∞ )$ .

Область значений совпадает с областью значений синуса, т.е. $[− 1,1]$

При стремлении $x$ к 0, аргумент синуса стремится к бесконечности. Получается, что в окрестности 0 функция будет бесконечно много раз пересекать ось $Ox$ , повторяя контур синусоиды.

Также стоит отметить, что после точки $x = 2 π$ , все последующий значения углов будут находится в первой четверти тригонометрической окружности. Это значит, что после точки $(2π,1)$ функция будет монотонно убывать на всей области определения.

Кроме того, заметим, что наша функция нечетна, следовательно, график её будет симметричен относительно нуля:

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#70026

Построить график функции

1 y = -------------- log2(x − 3) − 1

Показать ответ и решение

Для начала определим область определения функции.

( ( { x − 3 > 0 { x > 3 ( → ( → x ∈ (3,5)∪ (5,+ ∞ ) log2(x− 3) − 1 ⁄= 0 x ⁄= 5

Далее, давайте нашу функцию представим в виде композиции $g(x) = log2(x − 3)− 1$ , $h(x) = 1 x$ .

Ясно, что график $g(x)$ - это обычный логарифм по основанию большему единицы, сдвинутый на 3 вправо и на 1 вниз:

$PIC$

Теперь можно составить таблицу монотонности:
$-------------------------|---------------|----------------- У частки мо нотонности: | [3,5) | (5,+ ∞ ] -------------------------|---------------|----------------- log2(x− 3)− 1 | ↑ от − ∞ до 0 |↑ от 0 д о + ∞ ----1----- | ↓ от 0 до − ∞ |↓ от +∞ до 0 log2(x−3)−1$

Таким образом, график будет такой:

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#70024

Построить график функции

2 y = e−x +x

Показать ответ и решение

Напишем цепочку преобразований:
$−x2+x 2 1 2 1 12 2 e ← − x + x = − (x − 2) + 4 ← − (x− 2) ← − x$

Получаем следующие эскизы:

$PIC$

$−x2$

$PIC$

$1 2 −(x − 2)$

$PIC$

$1 2 1 −(x − 2) + 4$

А теперь строим таблицу монотонности:
$-------------------------|------1--------|----1------------ -У-частки-мо-нотонности:-|-[−-∞,-2]-------|---[2,+-∞-]------ 1 2 1 | 1 | 1 − (x−2 2) + 4 | ↑ от − ∞ до1 4 |↓ от 4 д1о − ∞ e− x+x | ↑ от 0 до e4 | ↓ от e4 до 0$

Следовательно, график будет выглядеть вот так

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#70023

Построить график функции

y = 2|sinx|+|cosx|

Показать ответ и решение

Получаем следующие эскизы:
На графике функции $√ -- y = 2sin(x+ π4)$ нас интересует промежуток $[0, π2)$ (обозначенный за $AB$ ).

$PIC$

Теперь можем нарисовать эскиз графика для функции $y = |sinx |+ |cosx|$ :

$PIC$

Как затем получить график $2|sinx|+|cosx|$ ?

Рассмотрим, опять же, на периоде $[0, π] 2$ :
$-------------------------|---π----------||----π--π-------- -У-частки-мо-нотонности:-|-[0,4-]--------||----[4-,2]------- |sinx|+ |cosx| | ↑ от 1 до √2 ||↓ от √2-до 1 | √- || √ - 2|sinx|+|cosx| | ↑ от 2 до 2 2||↓ от 2 2 до 2$

И получаем итоговый график для $y = 2|sinx|+|cosx|$ :

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#70022

Построить график функции

1 + x y = arcsin----- 1 − x

Показать ответ и решение

Ясно, что нашу функцию можно рассмотреть как композицию двух функций: $g(x) = 11+−xx$ и $h(x) = arcsin(x)$ . Составим таблицу монотонности наших функций:

Нам нужно понять, как ведет себя функция

g(x) = 1-+-x = − 1+ --− 2 1 − x x − 1

Ясно, что $x−11$ - это смещенная на 1 вправо гипербола, тогда если в числителе стоит отрицательное число, то эта гипербола отражается относительно оси $Ox$ , растягивается, а затем спускается вниз вдоль $Oy$ на единичку:

$PIC$

Далее, $arcsin$ определен только для аргументов от $− 1$ до $1$ .

Поэтому ОДЗ нашей функции будут те иксы, для которых

1 + x − 1 ≤ 1-−-x ≤ 1

Решением является участок $(− ∞, 0]$ . Теперь строим таблицу монотонности

$-У-частки-мо-нотонности:-|-(−-∞,-0]------||---- g(x) | ↑ от − 1 д о 1|- | || y = h(g(x)) | ↑ от − π2 до π2||-$

И отсюда уже ясно, как должен выглядеть наш график:

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#70021

Построить график функции

x + 2 y = arctg ----- x − 3

Показать ответ и решение

Ясно, что нашу функцию можно рассмотреть как композицию двух функций: $g(x) = xx+−23$ и $h(x) = arctg(x)$ . Составим таблицу монотонности наших функций:

Нам нужно понять, как ведет себя функция

g(x) = x-+-2 = 1+ --5-- x − 3 x− 3

Ясно, что $x−53$ - это смещенная на 3 вправо гипербола (и растянутая), а, значит, $g(x) = 1+ x5−3$ - это смещенная на 3 вправо и поднятая на 1 вверх гипербола:

$PIC$

Теперь строим таблицу монотонности

$-------------------------|---------------|----------------- У частки мо нотонности: | (− ∞, 3) | (3,+∞ ) -------------------------|---------------|----------------- g(x) | ↓ от 1 до − ∞ |↓ от +∞ до 1 y = h(g(x)) | ↓ от π до − π | ↓ от π до π 4 2 2 4$

И отсюда уже ясно, как должен выглядеть наш график:

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#70019

Построить график функции

4 + x y = ------ 2x + 1

Показать ответ и решение

Выполним преобразования, позволяющие явно увидеть все сдвиги и растяжения:

4+ x 1⋅(2x + 1)+ 7 1 7 1 1 7 1 y = ------ = -2-----------2-= -+ -⋅ ------= -+ --⋅----1. 2x + 1 2x + 1 2 2 2x+ 1 2 4 x+ 2

Итак, начинаем, как всегда, с графика (синий пунктир)

1 y = -, x

затем сдвигаем его на $1 2$ влево, получаем (синий)

y = --1--. x + 12

Растягиваем его в $7 4$ раз от оси $Ox$ , получаем (черный)

y = 7⋅ --1--, 4 x+ 12

после чего сдвигаем вверх на $1 2$ (черный жирный) и получаем требуемый график

y = 7⋅ -1---+ 1. 4 x+ 12 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#70018

Построить график функции

9x − 3 y = ------- 15x − 5

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение:

9x − 3 9 x − 3 9 x− 1 y = ------- = --⋅ ----95-= --⋅ ----31, 15x − 5 15 x− 15 15 x− 3

что эквивалентно

9 1 y = ---, x ⁄= -. 15 3

Таким образом, график – горизонтальная прямая с выколотой точкой.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#70017

Построить график функции

√ ------ y = 32− 3x

Показать ответ и решение

Сперва стоит преобразовать исходную функцию, чтобы выявить какие преобразования нам необходимо провести

∘ ---------- 3√ ------ 3 2- y = 2− 3x = − 3(x − 3)

Для начала нарисуем график функции $y = 3√x-$

Коэффициент $a$ в данном случае равен $− 3$ . Возьмём для начала его со знаком $+$ . Так как данный коэффициент $> 1$ , то необходимо сжать график в $a$ раз, т.е. в 3 раза вдоль оси $Ox$ относительно оси $Oy$ . Получим следующий график

Так как коэффициент был со знаком минус, то отразим график относительно оси $Oy$

Из преобразований, сделанных в начале, следует, что искомый график можно получить сдвигом вправо на $23$ по оси $Ox$ и получим ответ

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#70016

Построить график функции

π y = tg(5x− -) 4

Показать ответ и решение

Сперва стоит преобразовать исходную функцию, чтобы выявить какие преобразования нам необходимо провести

y = tg(5x − π) = tg(5(x − -π-)) 4 20

Для начала нарисуем график функции $y = tgx$

Коэффициент $a$ в данном случае равен $5$ . Так как данный коэффициент $> 1$ , то необходимо сжать график в $a$ раз, т.е. в $5$ раза вдоль оси $Ox$ относительно оси $Oy$ . Получим следующий график

Из преобразований, сделанных в начале, следует, что искомый график можно получить сдвигом вправо на $pi20-$ по оси $Ox$ и получим ответ

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#70015

Построить график функции

6πx − π y = sin-------- 3

Показать ответ и решение

Сперва стоит преобразовать исходную функцию, чтобы выявить какие преобразования нам необходимо провести

y = sin 6πx-−-π-= sin(2π (x − 1-)) 3 6

Для начала нарисуем график функции $y = sinx$

Коэффициент $a$ в данном случае равен $2π$ . Так как данный коэффициент $> 1$ , то необходимо сжать график в $a$ раз, т.е. в $2π$ раза вдоль оси $Ox$ относительно оси $Oy$ . Получим следующий график

Из преобразований, сделанных в начале, следует, что искомый график можно получить сдвигом вправо на $16$ по оси $Ox$ и получим ответ

Ответ: