Тема . САММАТ (Самарская математическая олимпиада)
Уравнения, неравенства и системы на САММАТе
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела саммат (самарская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74951

Пусть задано множество остатков от деления на 11, A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} . Пусть над этим множеством задана степенная функция четвертой степени (  т.е. все значения переменных и коэффициенты принадлежат только множеству A)

      4    3   2
f(x)= x + 3x +7x + 6x+10

Найдите элемент множества A,  являющийся суммой корней уравнения f(x)= 0.

Источники: САММАТ-2022, 11.7 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Остатков не так много, поэтому значения функции можно даже перебрать ;)

Подсказка 2

Приходим к тому, что корней всего 3 :)

Показать ответ и решение

Просто переберём остатки по модулю 11:

f(0)≡ 10⁄≡ 0mod 11

f(1)≡5 ⁄≡0 mod11

f(2)≡2 ⁄≡0 mod11

f(3)≡ 0mod 11

f(4)≡ 0mod 11

f(5)⁄≡ 0mod 11

f(6)⁄≡ 0mod 11

f(7)⁄≡ 0mod 11

f(8)≡ 0mod 11

f(9)⁄≡ 0mod 11

f(10) ⁄≡0 mod11

Итак, f(3)≡0 mod11,f(4)≡ 0mod 11,f(8)≡ 0mod 11.

Так как многочлен степени 4, то какой-то корень кратный. Убеждаемся, что

(x4+ 3x3 +7x2+ 6x +10)= (x − 3)(x − 4)2(x− 8) mod11

Значит, сумма равна

3+4 +4+ 8≡ 8mod 11
Ответ: 8

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!