Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пирамиде 
все боковые рёбра равны. Точка 
— середина дуги 
описанной окружности треугольника 
точка 
— середина дуги 
описанной окружности треугольника 
и т. д., точка 
— середина дуги 
описанной
окружности треугольника 
Докажите, что описанные окружности треугольников 
пересекаются в
одной точке.
Источники:
Заметим, что точки 
лежат и на сфере с центром в точке 
и в одной плоскости. Следовательно, они лежат на окружности
являющейся пересечением сферы с плоскостью. Пусть 
— центр этой окружности. Тогда 
перпендикулярно плоскости основания
и любая точка на прямой 
равноудалена от всех точек окружности 
Поэтому на 
найдётся и такая точка 
для которой
Тогда на сфере 
с центром в точке 
и радиусом 
лежат все вершины пирамиды, а также все окружности 
Следовательно, на этой сфере лежат все точки 
и 
Пусть 
— точка на сфере 
диаметрально противоположная точке 
Покажем, что описанные окружности треугольников 
проходят через точку 
Поскольку точки 
и 
лежат на
сфере, достаточно проверить, что они лежат на сфере, достаточно в одной плоскости. Эта плоскость перпендикулярна прямой 
и
проходит через точку 
В самом деле, 
поскольку они опирается на диаметр 
сферы 
и
поскольку они опираются на диаметры 
и 
описанных окружностей треугольников 
и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В тетраэдре 
проведена высота 
Из точки 
на прямые 
и 
опущены перпендикуляры 
и 
Плоскости 
и 
пересекаются по прямой 
Точка 
— центр окружности, описанной около треугольника 
Докажите,
что прямые 
и 
перпендикулярны.
Источники:
Заметим, что 
так что точки 
лежат на одной окружности. Пусть 
— точка пересечения прямых
и 
Имеем
последнее равенство выполнено в силу того, что прямая 
— касательная к сфере с диаметром 
а 
— секущая.
Таким образом, точка 
лежит на радикальной оси окружности, описанной около треугольника 
и точки 
(это частный
случай, когда одна из окружностей точка). На ней же лежат точки 
Значит, прямая 
и есть эта
радикальная ось. Она перпендикулярна линии центров 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В тетраэдре середины всех ребер лежат на одной сфере. Докажите, что его высоты пересекаются в одной точке.
Источники:
Пусть дан тетраэдр 
а 
— середины ребер 
и 
соответственно. Тогда прямые 
и 
параллельны
как средние линии треугольников 
и 
а прямые 
и 
параллельны 
как средние линии треугольников 
и 
Отсюда немедленно следует, что 
— параллелограмм. Но все его вершины лежат на сфере, поэтому он вписанный, т. е.
— прямоугольник. В силу параллельности сторонам прямоугольника прямые 
и 
перпендикулярны. Аналогично
и 
Докажем, что перпендикулярность противоположных сторон тетраэдра является достаточным условием того, что высоты тетраэдра
пересекаются в одной точке. Построим плоскость, проходящую через ребро 
перпендикулярно 
Высоты тетраэдра, опущенные из
точек 
и 
лежат в этой плоскости, и значит, пересекаются. Обозначим точку их пересечения через 
Высоты из вершин 
и 
также должны пересекать высоты из вершин 
и 
но так как они не лежат в плоскости 
пересекать их они могут только в точке
