Пусть дан тетраэдр а — середины ребер и соответственно. Тогда прямые и параллельны как средние линии треугольников и а прямые и параллельны как средние линии треугольников и Отсюда немедленно следует, что — параллелограмм. Но все его вершины лежат на сфере, поэтому он вписанный, т. е. — прямоугольник. В силу параллельности сторонам прямоугольника прямые и перпендикулярны. Аналогично и

Докажем, что перпендикулярность противоположных сторон тетраэдра является достаточным условием того, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Построим плоскость, проходящую через ребро перпендикулярно Высоты тетраэдра, опущенные из точек и лежат в этой плоскости, и значит, пересекаются. Обозначим точку их пересечения через Высоты из вершин и также должны пересекать высоты из вершин и но так как они не лежат в плоскости пересекать их они могут только в точке