Исследование функций на САММАТе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Исследование функций на САММАТе

Тема САММАТ (Самарская математическая олимпиада)

Исследование функций на САММАТе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела саммат (самарская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69824

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций: $-2x-- y =2arctgx +arcsin 1+x2,y = 0,x= 2,x =4.$

Источники: САММАТ-2023, 11.5 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Да уж, ну и задачка… Интегралы мы пока брать не умеем. В таком случае используем тот способ исследования функции, который нам доступен на школьном уровне. Давайте возьмем производную.

Подсказка 2

Посмотрите чему равна производная при x > 1.

Подсказка 3

Если вы правильно всё посчитали, то при x > 1 производная равная нулю. Зная данную особенность, с лёгкостью нарисуйте график функции и найдите площадь под графиком!

Показать ответ и решение

Легко заметить, что функция $y = 2arctgx+ arcsin 2x- 1+x2$ на отрезке $[2;4]$ является константой, ведь её производная

2⋅(1+x2)−2x⋅2x- 2+2x2−-4x2 ′ --1-- ---(1+x2)2--- --2-- --(1+x2)2--- y(x)= 2⋅1 +x2 + ∘ (-2x)2 = 1+ x2 + ∘ (1+x2)2−4x2= 1− 1+x2 (1+x2)2

2 2(11+−xx22)- 2 2(1− x2) = 1+-x2 + ∘----2-2 = 1+-x2 + (1+x2)|1-− x2| (1 − x )

тождественно равна нулю при $x> 1,$ потому что

| 2| ( 2) ′ 2 2(1− x2) 2 2 |1− x |= − 1− x =⇒ y(x)= 1+x2-+ − (1−-x2)(1+-x2)-= 1+x2-−1-+x2 =0

Таким образом, нам просто надо посчитать площадь прямоугольника:

(4− 2)⋅y(1)= 2⋅(2⋅ π+ π) =2π 4 2

Ответ:

$2π$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74953

Найти наименьшее значение функции

8 √- 6 4 √- 2 f(x)=x − 8 3x + 66x − 72 3x +100

Источники: САММАТ-2022, 11.9 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В функции не один раз встречается корень из трех. Быть может, сделаем замену, чтобы от него избавиться? Каким образом мы привыкли искать минимум и максимум функции?)

Подсказка 2

Сделаем замену а = sqrt(3), тогда функция будет иметь только целочисленные коэффициенты. А максимум мы привыкли искать с помощью производной! Вот только теперь надо понять, а производную кого вообще считать?

Подсказка 3

Посчитаем производную функции g(a) = a^4 - 8a^3 + 22a^2 - 4a + 11. А найти её минимум труда не составит ;)

Показать ответ и решение

Сделаем замену переменной по формуле $x2 = √3a,$ тогда функция $f(x)$ примет вид

4 √- √ -3 2 √- √ - f(x)= 9a − 8 3 ⋅3 3a + 66⋅3a − 72 3⋅ 3a +100=

( 4 3 2 ) =9 a − 8a +22a − 24a+ 11 +1 =9g(a)+ 1,

где $a ≥0.$ Найдем производную функции

g′(a)= 4a3− 24a2+ 44a − 24,

и решим уравнение

g′(a) =0 ⇒ 4a3− 24a2+44a− 24= 0

Нетрудно видеть, что уравнение имеет корень $a= 1,$ следовательно

4a3− 24a2+ 44a − 24= 0

( ) (a− 1)4a2− 20a +24 = 0

( ) 4(a− 1) a2− 5a +6 = 0

4(a− 1)(a− 2)(a − 3)= 0

То есть уравнение имеет корни $a =1,a = 2 1 2$ и $a =3. 3$

Так как $g′(a)< 0$ при $0 ≤a< 1$ и при $2< a <3,$ то на этих интервалах функция $g(a)$ убывает. Так как $g′(a)> 0$ при $1 <a <2$ и при $a > 3,$ то на этих интервалах функция $g(a)$ возрастает.

Следовательно, функция $g(a)$ принимает наименьшее значение в одной из двух точек $a1 = 1$ или $a3 = 3:$

4 3 2 g(a1)= g(1) =1 − 8⋅1 +22⋅1 − 24⋅1+11= 2

g(a )= g(3)= 34− 8 ⋅33+ 22⋅32− 24⋅3+ 11= 3

= 81− 8⋅27 +22⋅9− 24⋅3+11= 81− 216+ 198− 72+ 11= 2

Поскольку значения $g(1)=g(3)=2$ равны, тогда $mina≥0g(a)= 2,$ и поэтому минимальное значение функции $f(x)$ равно

minf(x)=minf(x)= 9⋅min g(a)+1 =9 ⋅2 +1= 19 x x≥0 a≥0

Ответ: 19

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74945

Найдите наименьшее значение функции

( a+4b)2 ( 2b+ 2c)2 (c+ 2a)2 f(a,b,c) = -c--- + --a-- + --2b--

при $a> 0,b> 0,c> 0.$

Источники: САММАТ-2022, 11.1 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда хотим оценить снизу положительную сумму, что первым приходит в голову?)

Подсказка 2

Неравенство о средних! Теперь мы понимаем, когда функция принимает свой минимум. Получается, нам нужно решить систему уравнений. Будем преобразовывать и выразим остальные буквы через a.

Подсказка 3

Получится, что a = 2b = c. Теперь мы знаем, что подставлять в функцию для поиска минимума. Осталось лишь привычным в решении этой задачи методом показать, что оно действительно наименьшее!

Показать ответ и решение

По неравенству о средних (неравенству Коши)

( )2 ( )2 ( )2 ∘ (-----)2(-----)2-(-----)2- f(a,b,c)= a+-4b- + 2b-+2c + c+-2a ≥ 33 a+-4b 2b+-2c c+-2a c a 2b c a 2b

Равенство достигается при

(a-+4b)2 ( 2b+-2c)2 (c+-2a)2 c = a = 2b

Т.к. $a> 0,b >0,c> 0,$ это равносильно

a+ 4b 2b+2c c+2a --c--= --a-- = -2b--

( ( |{ a2+4ab= 2bc+ 2c2 |{ 4ab− 2bc= 2c2 − a2 | 2ab+ 8b2 = c2+ 2ac ⇔ | 2ab− 2ac= c2− 8b2 ( 4b2+ 4bc=ac+ 2a2 ( 4bc− ac= +2a2− 4b2

Решим систему уравнений относительно произведений $ab,ac,bc.$ Умножим первое уравнение на $4,$ второе уравнение — на $(−1),$ третье уравнение на $2$ и сложим, получим

16ab− 8bc− 2ab+ 2ac+8bc− 2ac= 8c2− 4a2− c2 +8b2+4a2− 8b2,

14ab= 7c2, 2ab= c2

Умножим первое уравнение на $2,$ второе уравнение — на $(−4),$ третье уравнение на $1$ и сложим, получим

8ab− 4bc− 8ab +8ac+4bc− ac=4c2− 2a2 − 4c2+32b2+2a2− 4b2,

2 2 7ac= 28b, ac= 4b

Умножим первое уравнение на $1,$ второе уравнение — на $(−2),$ третье уравнение на $4$ и сложим, получим

2 2 2 2 2 2 4ab− 2bc− 4ab+4ac+ 16bc− 4ac= 2c − a − 2c +16b +8a − 16b,

14bc= 7a2, 2bc= a2

Поэтому получим эквивалентную систему уравнений, преобразуем её, учитывая условие, что $a> 0,b> 0,c>0$

( ( ( ( |||{ 2ab= c2 |||{ 2b =-c2 |||{ a = c2- |||{ a-= 4b2- ac= 4b2 ⇔ c3 4b32 ⇔ c3 a23 ⇔ 2b3 a23 |||( 2bc= a2 |||( 8b = c |||( a = c |||( a = 8b 2b= c a= c a =2b

Таким образом, получаем условие $a= 2b=c =t> 0.$ При таких условиях функция $f(a,b,c)$ принимает значение, равное

( t ) (t+ 2t)2 (t+ 2t)2 ( t+2t)2 f t,2,t = --t- + --t- + -t-- =

∘ (t+-2t)2(-t+2t)2(-t+2t)2- ( t+2t)2 = 33 --t- --t- -t-- = 3 -t-- = 3⋅32 = 27

Покажем, что это значение является наименьшим значением функции $f(a,b,c)$ при всех $a >0,b> 0,c> 0.$ Для этого докажем неравенство $f(a,b,c)≥ 27$ при всех $a> 0,b> 0,c> 0.$ Применим указанное выше неравенство Коши дважды: