Тождественные преобразования на САММАТе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Тождественные преобразования на САММАТе

Тема САММАТ (Самарская математическая олимпиада)

Тождественные преобразования на САММАТе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела саммат (самарская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69825

Пусть $a$ и $b$ — натуральные числа, такие что несократимая дробь представима в виде суммы

a 1 1 1 -1- 1-- b = 1− 2 +3 − 4 + ...− 118 + 119

Докажите, что число $a$ делится на 179.

Источники: САММАТ-2023, 11.6 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Считать знакопеременную сумму явно не нужно. Заметим, что с минусами у нас стоят дроби с чётным знаменателем. Что стоит добавить и одновременно вычесть из суммы, чтобы все минусы ушли?

Подсказка 2

Будем вычитать и добавлять те дроби, в которых есть минус. Например, -1/2 = 1/2 - 2 * (1/2) = 1/2 - 1, -1/4 = 1/4 - 2*(1/4) = 1/4 - 1/2, -1/6 = 1/6 - 1/3 и так далее. Какая в итоге получится сумма?

Подсказка 3

Конечно, все слагаемые вплоть до 1/59 взаимоуничтожаются, и остаётся сумма от 1/60 до 1/119. Вновь посчитать её явно не выйдет, поэтому воспользуемся приемом - разобьём все дроби(их 60 штук) на пары. Как это будет сделать удобнее всего?

Подсказка 4

Будем брать первое с начала и первое с конца, второе с начала и второе с конца, и т.д. Тогда сумма в каждой паре будет иметь вид 1/(59+k) + 1/(120-k), что равно 179/(59+k)(120-k). Почему в результате сокращения и приведения к общему знаменателю знаменатель всегда будет оставаться кратным 179?

Показать доказательство

a 1 1 1 -1- -1- b =1− 2 + 3 − 4 + ...− 118 + 119 =

1 1 1 1 1 ( 1 1 1 ) = 1+ 2 + 3 + 4 + ...+ 118-+ 119-− 2 2 + 4 + ...+ 118 =

( ) = 1+ 1+ 1 + 1+ ...+ 1--+-1- − 1+ 1+ ...+ 1- = 2 3 4 118 119 1 2 59

1- 1- 1- -1- 1-- = 60 + 61 + 62 + ...+ 118 + 119

В сумме 60 слагаемых, разбиваем их на пары

--1--+ --1---= -----179------ 59+ k 120 − k (59+ k)(120− k)

для любого $k$ от 1 до 30.

a = ---179⋅30---- b 60 ⋅61⋅...⋅119

Так как 179 простое, то получившаяся дробь после сокращения все равно будет иметь в числителе множитель 179 , а значит утверждение доказано.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74948

Дана арифметическая прогрессия $a = 25,a ,a,...,a = 2025. 1 2 3 2022$ Вычислите

----1--- ----1--- -----1------- √a1+ √a2 +√a2-+√a3-+ ⋅⋅⋅+ √a2021+ √a2022

Источники: САММАТ-2022, 11.4 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Все числа прогрессии можем найти, но подставлять их в знаменатель и возиться с кучей корней.. врагу не пожелаешь. И вообще корни в знаменателе это очень неприятно, как бы это исправить? Вместо этого можно провернуть трюк с избавлением от иррациональности в знаменателях - всё-таки с корнями в числителях лучше работается, чем с корнями в знаменателях

Подсказка 2

Ага, можно просто домножить числитель и знаменатель на сопряжённые! И при этом у нас же прогрессия была, тогда мы знаем знаменатели! И всё красиво сокращается

Показать ответ и решение

Найдем разность прогрессии