Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите множество всех целых значений суммы
где и — произвольные натуральные числа.
Подсказка 1
Пусть сумма из условия равна m, где m - натуральное число (так как х и у натуральные). Для удобства домножим получившееся равенство на 3ху и получим уравнение в натуральных числах. Всё последующее решение задачи — это просто аккуратное рассмотрение делимостей. Например, на что может делиться х?
Подсказка 2
В выражении много троек, проверьте, делится ли х на 3. Это можно сделать от противного.
Подсказка 3
Действительно, х делится на 3, значит можно сделать замену: пусть х = 3z, где z - натуральное число. Подставьте это в равенство и посмотрите какие ещё переменные могут делиться на 3.
Подсказка 4
Верно, либо у, либо z делится на 3. Рассмотрите оба случая и в каждом из них сделайте замену. Тут так же нужно будет подумать, на что могут делиться переменные, и как они относятся друг к другу: может какие-то из переменных делятся на другие?
Пусть — натуральное число. Тогда
Если не делится на , то делится на . Но в таком случае все члены равенства, кроме , делятся на , а делится только на , что невозможно. Значит, делится на , то есть для некоторого натурального числа . Имеем
откуда делится на или делится на .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пусть . Тогда
откуда делится на . Но в таком случае делится и на , то есть для некоторого натурального . Теперь имеем , откуда . Ясно, что число будет целым только при , при этом .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пусть . Тогда . Как и выше, отсюда следует, что делится на ,то есть для некоторого натурального . Теперь имеем , откуда делит , то есть . При получаем невозможные равенства
соответственно. При число , откуда — делитель , при этом
то есть . Следовательно, , и тогда .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сколько двузначных натуральных чисел нельзя представить в виде суммы двух палиндромов?
Палиндром - число, читающееся одинаково слева направо и справа налево. Однозначные числа также считаются палиндромами. Многозначные палиндромы не могут начинаться с 0.
Если число является палиндромом, то числа допускают нужное представление. Поэтому числа от до могут быть представлены нужным образом:
Если число двузначное и является палиндромом, то число также палиндром, и может быть представлено как . Например, если . Поскольку разность между соседними двузначными палиндромами равна , это означает, что все такие числа допускают нужное представление. Осталось рассмотреть числа вида , где — палиндром, то есть числа . Пусть число . Если и и двузначные палиндромы, тогда правая часть делится на , а левая нет. Значит, одно из слагаемых должно быть однозначным, то есть числом из набора . Но разность и любого числа из набора не кратна . Числа нельзя представить как сумму двух палиндромов.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары натуральных чисел, для которых
Подсказка 1
Давайте перенесем куб вправо и изменим внутри знак. Тогда, что мы можем сказать про ab, если 3^3 = 27? А что мы можем сказать про то как связаны a и b?
Подсказка 2
Из того, что 27 - куб, следует, что ab - тоже куб, так как справа у нас расположен куб. А что насчет связи a и b? Если у них есть общий делитель, то получается, что по некоторому простому модулю p, для которого a = 0 и b = 0 (mod p), выходит, что 1 = 0, mod p. Значит, p = 1, а значит a и b взаимнопросты. Как мы тогда можем скомбинировать наши результаты?
Подсказка 3
Тогда, a, b - кубы, ведь они взаимнопросты и их произведение - куб(если вам непонятно почему это так, то попробуйте рассмотреть произвольное p^3a и понять почему факт верен). Но тогда, выходит, что 27xy = 1 - x^3 - y^3(x^3 = a, y^3 = b). Хмм, мы пришли к уравнению, которое все же лучше начального, но также непонятно как решать. Давайте попробуем как-то оценить x через y, и быть может из этой оценки будет явно следовать ограниченность количества вариантов(подсказка внутри подсказки - 27xy > 0).
Подсказка 4
Но если у нас 27xy > 0, то x^3 - y^3 - 1 > 0, а значит y <= x - 1. Подставив эту оценку(после переноса всех слагаемых в одну сторону) в уравнение, мы и получим ограниченность количества решений, откуда и будет следовать ответ.
Во-первых, покажем, что и взаимно просты. Пусть это не так, тогда они делятся на какое-то простое число , а значит и делится на , но это не так.
Во-вторых, покажем, что и — точные кубы. Число — куб, — куб, значит и — куб. Если некоторое простое число входит в в степени , то оно либо входит в этой же степени в , а в — в нулевой, либо наоборот, так как . Таким образом, и — кубы, ведь все простые множители входят в них в степени.
Пусть , тогда извлечём из равенства кубический корень и получим:
Зафиксируем и сравним с ней . Ясно, что , потому что иначе правая часть отрицательна, а левая — положительна. Перепишем равенство в виде:
Нетрудно видеть, что
То есть равенство возможно лишь когда , откуда . Притом эта пара является решением при любом натуральном .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что числа — целые. Обязательно ли являются целыми все три числа
Подсказка 1
Давайте для доказательства этого воспользуемся неочевидным инструментом - симметрическими многочленами. Логика в том, что наши выражения точно рациональны, и при этом, мы знаем такой факт, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами имеет корень p/q (в несократимой записи), то старший коэффициент делится на q. Значит, в идеале, нам хотелось бы придумать многочлен, с целыми коэффициентами, корнями, равным нашим выражениям. Какое условие мы забыли, с учетом леммы выше?
Подсказка 2
Мы забыли условие на то, что у нас свободный член должен быть равен 1, если мы хотим целые корни нашему уравнению, ведь тогда знаменатель q = 1. Ну а какое самое простое уравнение с нашими выражениями в виде корней мы знаем? Верно, просто кубический многочлен с такими корнями. Остается проверить, что он имеет целый коэффициенты.
Подсказка 3
Коэффициенты нашего многочлена будут -(ab / c + bc / a + ca / b), (a^2 + b^2 + c^2), -abc. И да, эти коэффициенты целые, а также старший коэффициент равен 1, а значит, наши выражения — целые.
Рассмотрим числа . По условию их сумма целая, их произведение равно — целое, сумма их попарных произведений равна — целая. Значит, мы можем составить приведённый многочлен с целыми коэффициентами и корнями :
Осталось заметить, что корни рациональны как отношения целых чисел. Если целочисленный многочлен имеет рациональный корень , то его старший коэффициент делится на . Поскольку наш многочлен приведённый, корни являются целыми.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
в натуральных числах.
Источники:
Подсказка 1
Мы видим, что в уравнении все коэффициенты равны 1. Это наводит нас на мысль о том, что надо искать связь между x и y. У нас есть удобное слагаемое y, поэтому разумно оставить его и попытаться пораскладывать остальные слагаемые...
Подсказка 2
Мы видим, что можно вынести y² за скобку. Тогда получится, что x⁴-y²(x-1)=y. Если отнять от обеих частей 1, можно получить, что (x-1)(x³+x²+x+1-y²)=y-1. Пускай x≠1, тогда y-1 делится на x-1, т.e. y=k(x-1)+1. Теперь можно подставить вместо y k(x-1)+1 и посмотреть, что получится...
Подсказка 3
После подстановки и сокращения на (x-1) можно заметить, что наше равенство имеет вид k-3=(x-1)(...). Тогда k=m(x-1)+3 или m=(k-3)/(x-1). Вспоминаем, что k=(y-1)/(x-1) и получаем, что m=(y-3x+2)/(x-1)². Кажется, что от делимости мы уже ничего не получим. Может тогда попробовать метод оценки...
Подсказка 4
Попробуйте понять, бывает ли целое число m больше или равно 1...
Подсказка 5
Пускай m≥1.Тогда y≥x²+x-1 ⇒ x⁴=(x-1)y²+y≥x⁵+x⁴-3x³+4x-2, что неверно при x>1. Получается, что m<1 ⇔ m≤0. Тогда k может принимать значения 1, 2 или 3. Проверьте эти значения и не забудьте рассмотреть случай x=1!
Уравнение равносильно
Если то запишем эту пару в ответ.
Теперь рассмотрим Тогда это натуральное число и на него делится левая часть уравнения
А значит, для некоторого натурального числа
После подстановки и сокращения на получим уравнение:
Если снова посмотреть по модулю то есть разделить в столбик левую часть на натуральное число , то окажется, что число
должно быть целым.
Более того, поскольку это равносильно неравенству которое верно при
Действительно, если то что невозможно при
Таким образом, а значит,
При уравнение принимает вид что невозможно для
Если то число будет целым только при однако пара не удовлетворяет уравнению
При уравнение переписывается в виде Отсюда находим, что и затем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
в целых неотрицательных числах.
Источники:
Подсказка 1
Левая часть должна делиться на 7, а еще видно связь между 3^2a и 3^a, что тогда хочется сделать?
Подсказка 2
Хочется заменить 3^a на t и записать табличку остатков на t^2 + t + 2 по модулю 7^l. Тогда какие выводы мы сможем сделать относительно l?
Подсказка 3
l < 2! Остаётся разобрать 2 случая с l) Начнем с l = 0. У нас появляется уравнение относительно a и k, где одно из решений на "маленьких числах" угадывается. Далее попробуем оценить a и доказать, что при a >= 2 решений нет. Как это сделать?
Подсказка 4
При a >= 2 мы можем оценить k и найти остаток от деления на 3 числа 2^k. Теперь мы знаем, какое k, поэтому можем подставить это в изначальное уравнение. Какое уравнение у нас получается и какой вид будет иметь k?
Подсказка 5
k = 2m + 1, тогда мы приходим к уравнению вида 3^a(3^a + 1) = 2(4^m - 1), значит m делится на 3. Теперь мы можем оценить, на что делится 4^m - 1, тем самым сделав выводы о делителях 3^a + 1. Какие?
Подсказка 5
3^a + 1 делится на 7. Осталось лишь оценить a и прийти к противоречию с помощью сравнений по модулю) осталось лишь рассмотреть случай l = 1, что делается теми же идеями, что и случай l = 0)
Если то получим сравнение
где Но это сравнение невозможно ни при каком (проверку осуществляем с перебора остатков по модулю Значит,
- 1.
-
В случае имеем уравнение Если то При решений нет. Далее считаем Имеем и откуда для некоторого натурального Из равенства следует, что делится на 3 (иначе правая часть не будет делиться на 9). Тогда делится на Следовательно, делится на 7. Но тогда так что Однако что дает противоречие.
- 2.
-
Рассмотрим случай При из уравнения находим Пусть далее и, как следствие, Имеем Отсюда следует, что делится на 7. Это возможно только при условии Но тогда что приводит к противоречию.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары натуральных чисел, для которых оба числа являются точными квадратами.
Подсказка 1
Давайте внимательно посмотрим на наши выражения. Нельзя ли сразу угадать какую-то пару чисел, удовлетворяющую условиям задачи. Пусть x равен какому-то натуральному n. Тогда какой должен быть y, чтобы первое выражение было квадратом?
Подсказка 2
Верно, тогда y=n+2. Можно проверить, что условие задачи выполняется. Что же делать теперь? Ведь y может быть больше или меньше x+2. Какую идею тогда здесь можно применить для дальнейшей оценки наших выражений, чтобы перебирать другие варианты было проще?
Подсказка 3
Да, можно попробовать зажать наши числа между квадратами. Если y < x+2, то первое выражение будет находиться между x² и (x+4)², и остаётся только вариант для (x+2)² = x² + 8y из-за чётности. Аналогично рассматривается, если y > x+2. Тут уже второе число зажимается между y² и (y-4)². Осталось только технически это всё реализовать и найти оставшиеся решения. Победа!
Легко проверить, что пары вида , где n – натуральное число, удовлетворяют условию задачи. Пусть – любая другая пара, удовлетворяющая условию задачи. Рассмотрим два случая.
1) Пусть сначала . Тогда , откуда , где . Очевидно, возможен лишь случай (по чётности), и тогда .
Осталось выяснить, при каких натуральных число будет точным квадратом. Пусть , тогда . Число под корнем должно быть точным квадратом: , т. е. .
Разложим на множители и рассмотрим системы. Учитывая, что и имеют одинаковую чётность, отбросим лишние, останутся системы:
откуда или , .
При значение и подходит . При значение и подойдет . Поскольку , получаем пары и .
2) Пусть теперь , т. е. . Здесь , и мы имеем . Значит, , где . Опять возможен только случай (по чётности), так что .
Пусть , тогда . Выше показано, что число под корнем является точным квадратом только при или . Тогда или . Получаем пары и , первая из которых входит в множество .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все натуральные числа для которых число
также является натуральным.
Источники:
Подсказка 1
Мы хотим сделать так, чтобы числитель делился на знаменатель. Попробуем сделать замену а+1=b, так же заменим и корень. Что получится?
Подсказка 3
Может ли -а-1 быть сравнимо с нулем по модулю a^2+1?
Обозначим . В числителе записано
На должно делиться
При модуль остатка меньше поэтому остаток не может делиться на ни при каком Уравнению удовлетворяет единственное значение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Выражение ! означает произведение всех натуральных чисел от до включительно, т. е. . Решите в натуральных числах уравнение
Воспользуемся делимостью на 4, чтобы получить ограничение на значение . При имеем
Следовательно, Переберем возможные варианты и выберем те, при которых
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В ряд выписывают дроби Сколько всего целых чисел встретится в таком ряду?
Подсказка 1
Наши числа имеют вид (4062-x)/x. Нам надо найти количество целых чисел, когда x пробегает от 1 до 4061. Как вы думаете, при каком условии на x это число будет целым?
Подсказка 2
(4062-x)/x = 4062/x - 1. Тогда нужно всего лишь обеспечить целость числа 4062/x. Стало быть x- делитель 4062. Посчитайте количество делителей числа 4062 (только не забудьте, что x<4062) и радуйтесь жизни!
Сумма числителя и знаменателя каждой дроби равна , то есть каждая дробь имеет вид , где – натуральное число, не превосходящее . Число будет целым, когда число - делитель .
Поскольку , где числа , и – простые, у числа будет делителей. И так как , может принимать одно из значений (все делители , кроме самого числа), чтобы дробь была целой.