Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары натуральных чисел, для которых оба числа являются точными квадратами.
Подсказка 1
Давайте внимательно посмотрим на наши выражения. Нельзя ли сразу угадать какую-то пару чисел, удовлетворяющую условиям задачи. Пусть x равен какому-то натуральному n. Тогда какой должен быть y, чтобы первое выражение было квадратом?
Подсказка 2
Верно, тогда y=n+2. Можно проверить, что условие задачи выполняется. Что же делать теперь? Ведь y может быть больше или меньше x+2. Какую идею тогда здесь можно применить для дальнейшей оценки наших выражений, чтобы перебирать другие варианты было проще?
Подсказка 3
Да, можно попробовать зажать наши числа между квадратами. Если y < x+2, то первое выражение будет находиться между x² и (x+4)², и остаётся только вариант для (x+2)² = x² + 8y из-за чётности. Аналогично рассматривается, если y > x+2. Тут уже второе число зажимается между y² и (y-4)². Осталось только технически это всё реализовать и найти оставшиеся решения. Победа!
Легко проверить, что пары вида , где n – натуральное число, удовлетворяют условию задачи. Пусть – любая другая пара, удовлетворяющая условию задачи. Рассмотрим два случая.
1) Пусть сначала . Тогда , откуда , где . Очевидно, возможен лишь случай (по чётности), и тогда .
Осталось выяснить, при каких натуральных число будет точным квадратом. Пусть , тогда . Число под корнем должно быть точным квадратом: , т. е. .
Разложим на множители и рассмотрим системы. Учитывая, что и имеют одинаковую чётность, отбросим лишние, останутся системы:
откуда или , .
При значение и подходит . При значение и подойдет . Поскольку , получаем пары и .
2) Пусть теперь , т. е. . Здесь , и мы имеем . Значит, , где . Опять возможен только случай (по чётности), так что .
Пусть , тогда . Выше показано, что число под корнем является точным квадратом только при или . Тогда или . Получаем пары и , первая из которых входит в множество .
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!