Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны числа 
такие, что
Докажите, что
Источники:
Подсказка 1
Тригонометрия, логарифм и показательная функция в одном месте — вряд ли мы здесь обойдёмся банальными преобразованиями. Видно только, что первое выражение, равное 16, — сумма трёх квадратов каких-то величин, а во втором выражении стоят похожие величины, но без квадратов. Какие есть неравенства, связывающие такие суммы?
Подсказка 2
Неравенство Коваля-Белова-Шурыгина! Ой, то есть Коши-Буняковского-Шварца) Ну то самое про квадрат суммы и сумму квадратов. Говоря по простому, это факт, что скалярное произведение не больше произведения длин (это же и так понятно, да?..) Давайте соорудим векторы с нужными координатами!
Подсказка 3
Компоненты первого вектора — величины, сумма квадратов которых равна 16. А второй вектор нужно подобрать так, чтобы их скалярное произведение выглядело как то выражение, которое не должно превосходить 28. Пробуйте!
Используем неравенство КБШ в векторном виде. Рассмотрим векторы 
и 
Скалярное
произведение
Имеем
Тогда получаем, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
"По-нормальному" мы это уравнение точно не решим, поэтому давайте вспоминать все хитрости, которые у нас есть. В уравнение мы видим похожие конструкции в обоих слагаемых. Попробуйте ещё получше преобразовать tg(x), 3^x⁴-9 и 2^{tg x}-1, чтобы они стали совсем идентичными. Как тогда их можно связать между собой?
Подсказка 2
Верно, если записать tg(x)=tg(x)-0, 2^{tg x}-1=2^{tg x}-2^0 а 3^x⁴-9=3^x⁴-3^2, то это всё намекает посмотреть на уравнение с точки зрения функции. А справа у нас ноль. То есть хорошо бы было просто сказать, что каждое из слагаемых равно нулю. Но у нас может быть такое, что одно положительное, а другое отрицательное... Или не может? Попробуйте понять, почему у нас два слагаемых обязательно одного знака.
Подсказка 3
Верно, можно сказать, что мы сравниваем два числа и степени 3 и 2 возведённые в них. Тогда из-за возрастания 3^x и 2^x знак в таких скобках будет совпадать в скобках с просто выражениями x⁴ и 2 или tg(x) и 0. Всё, теперь можем уже "законно" сказать, что каждое из слагаемых должно быть равно нулю и доделать задачу!
Функции 
и 
- возрастающие, следовательно, выражение 
имеет такой же знак, как и
, а выражение 
имеет такой же знак, как и 
. Таким образом, слагаемые в левой
части уравнения - одного знака, равенство нулю возможно лишь в том случае, когда один из множителей равен нулю.
Имеем
Решая эти уравнения, получаем ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что
Докажите, что
Источники:
Подсказка 1
Давайте внимательно посмотрим на неравенство, которое нужно доказать. Где такое выражение чаще всего встречается? Попробуйте подумать в этом направлении.
Подсказка 2
Верно, это дискриминант квадратного трёхчлена с нужными коэффициентами. Тогда давайте рассмотрим трёхчлен ax^2 + bx +c. Как теперь можно переформулировать нашу задачу?
Подсказка 3
Ага, когда наше неравенство будет выполняться, многочлен будет иметь два корня. Тогда нужно просто проанализировать знаки трёхчлена в хороших точках. Какие это могут быть точки, учитывая неравенства, данные по условию?
Подсказка 4
Верно, попробуйте подставить точки 3 и -3 и посмотреть на знаки трёхчлена. Но не забудьте ещё проверить a=0, потому что в этом случае у вас не квадратный трёхчлен. В таком решении это важно.
Первое решение.
Чтобы доказать 
хочется доказать 
Преобразуем это неравенство:
Верно, поэтому было верным и
Значит, 
Второе решение.
Нам нужно доказать, что 
а это очень напоминает дискриминант, поэтому давайте придумаем квадратный трёхчлен с таким
дискриминантом и докажем, что он имеет 2 корня. Очевидно, подходит 
Всегда ли мы можем рассматривать его
дискриминант? Нет, в случае 
никакого дискриминанта нет, поэтому его надо рассмотреть отдельно — благо, тут всё просто и понятно,
а 
значит, 
Теперь рассмотрим случай, когда 
В неравенстве из условия было 
поэтому давайте попробуем подставить 3 и
-3.
То есть квадратный трёхчлен принимает положительные и отрицательные значения, а значит, он имеет 2 корня! И его
