Многочлены и квадратные трёхчлены на Звезде —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Многочлены и квадратные трёхчлены на Звезде

Тема Звезда (только задачи по математике)

Многочлены и квадратные трёхчлены на Звезде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела звезда (только задачи по математике)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74600

Датчик случайных чисел за одно действие уменьшает или увеличивает на 1 коэффициент перед $x$ или свободный член в квадратном трёхчлене. После некоторого числа таких операций он преобразовал трёхчлен $2 x − 20x+22$ в трехчлен $2 x − 202x +2$ . Верно ли, что среди полученных в процессе квадратных трёхчленов есть такой, у которого целые корни? Ответ обоснуйте.

Источники: Звезда - 2022 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Следить сразу за двумя целыми корнями как-то сложновато. Давайте для начала попробуем доказать, что в какой-то момент будет один целый корень. Может возьмем какой-нибудь конкретный?

Подсказка 2

А чего мелочится, давайте посмотрим на 1! Если у нашего трехчлена есть корень 1, то сумма его коэффициентов равна 0. Как меняется сумма наших коэффициентов после одной операции?

Подсказка 3

Верно, она меняется на 1! Изначально сумма была 3, а в конце -199. Значит в какой-то момент она станет равной 0. Итак, в какой-то момент у нашего трехчлена будет корень 1. Докажите, что тогда у него есть второй целый корень (возможно кратный)!

Показать ответ и решение

Давайте попробуем доказать, что в какой-то момент у квадратного трёхчлена будут целые корни. Для этого угадаем один из них. Если сумма коэффициентов многочлена равна 0, то есть корень $x =1.$ У начального многочлена $2 f1(x)= x − 20x+ 22$ сумма коэффициентов равна 3, а у конечного $2 f2(x)=x − 202x +2$ сумма коэффициентов равна -199, при этом за одно действие ровно один из коэффициентов меняется на 1, значит, сумма коэффициентов меняется на 1. Но если она была положительной, а потом стала отрицательной, то в какой-то момент обязательно была равна 0. То есть в какой-то момент у нас был трёхчлен $2 f(x)= x +bx+ c$ , один из корней которого равен 1! А по теореме Виета второй корень равен $c$ — тоже целому числу $=⇒$ у трёхчлена 2 целых корня!