Отбор Физтеха —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Отбор Физтеха

Тема Физтех

Отбор Физтеха

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#41317

Два трёхзначных числа таковы, что сумма остальных трёхзначных чисел ровно в $770$ раз больше одного из них. Найдите наибольшее из этих чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть наши числа это x и y. В условии упоминается сумма всех трехзначных без них, получается нужно её записать. Тогда эта сумма делится на 770. Что тогда можно сказать об x + y?

Подсказка 2

Сумма всех чисел без x и это (999+100/2 * 900 - x - y, а т.к. это делится на 770, значит x+y = 210(mod 770). Какой тогда может быть их сумма? Остаётся лишь рассмотреть случаи x+y. Как после этого находить x и y по отдельности?

Подсказка 3

Поделив сумма всех чисел без x и y на 770, найдем x или y, а оттуда проверим, выполняется ли условие!

Показать ответ и решение

Посчитаем сумму всех трёхзначных чисел без двух выбранных $x,y :x< y$

999+100 100+ ...+999− x− y = 2 ⋅900− x− y = 450⋅1099− x − y =494550− x− y

Из условия следует, что эта сумма в $770$ раз больше $x$ или $y,$ так что $494550− x− y ≡7700.$ Отсюда $494550 ≡770210 ≡770 x+ y.$ Тогда $x +y ∈ {210,980,1750}$ — другие значения невозможны, поскольку оба числа трёхзначные. Разберём эти три случая:

$x +y = 1750,494550− x− y = 640⋅770,$ то есть $x= 640,y = 1110$ — такое невозможно.
$x +y = 980,494550 − x− y = 641⋅770,$ тогда $y = 641,x= 339.$ Здесь наибольшее будет $641.$
$x +y = 210,494550 − x− y = 642⋅770,$ здесь $y = 642$ и $x< 0,$ также невозможно.