Квадратные трёхчлены на Физтехе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Квадратные трёхчлены на Физтехе

Тема Физтех

Квадратные трёхчлены на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31048

Даны квадратные трехчлены

$2 f1(x)=x − ax+ 2$ , $2 f2(x)= x +3x+ b$ , $2 f3(x)= 3x +(3− 2a)x+ 4+ b$ и $2 f4(x) =3x + (6 − a)x+ 2+2b.$

Пусть разности их корней равны соответственно $A,B,C$ и $D$ , и при этом $|A|⁄= |B |.$

Найдите соотношение $C2−D2- A2−B2 .$

(значения $A,B,C,D,a,b$ не заданы)

Источники: Физтех-2019, 11.1, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, а давайте подумаем, чему равна разность между корнями любого квадратного трёхчлена.

Подсказка 2

Да, она равна отношению корня из дискриминанта к старшему коэффициенту! Попробуйте выписать разность корней для каждого из уравнений.

Подсказка 3

А теперь, давайте посмотрим на дробь, значение которой надо найти и просто подставим найденные разности в это выражение!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $2 αx +βx +γ$ — квадратный трёхчлен с неотрицательным дискриминантом $T$ . Тогда его корни определяются формулой $−-b±√T- x1,2 = 2a$ , поэтому $||−b+-√T−(−b−√T)|| |x2− x1|= | 2a |=$ $√T- |a|$ . Применяя эту формулу четыре раза, получаем

∘----- √----- 1∘ --------------- 1∘ --------------- A = a2− 8,B = 9− 4b,C = 3 (3− 2a)2− 12(4 +b),D = 3 (6− a)2 − 12(2+b)

Отсюда следует, что $1(( ) ( )) 1( ) C2 − D2 = 9 4a2− 12a− 12b− 39 − a2− 12a− 24b +12 = 3 a2 +4b− 17$ , $A2− B2 =a2+ 4b− 17$ . Сократить на $a2 +4b− 17$ можно, поскольку $A2− B2 ⁄= 0$ по условию. Значит, искомое отношение равно $13$ .

Второе решение.

Если у нас есть квадратное уравнение $ax2+ bx+ c$ , у которого $2$ корня, то по теореме Виета $x1+ x2 = − ba$ и $x1x2 = ca$ . Тогда $( ) (x1− x2)2 = ba 2− 4ac$ . Применим это к нашей задаче.

A2 =a2− 8

B2 =9 − 4b

2 3−-2a 2 16+-4b- C =( 3 ) − 3

2 (6− a)2 4(2+ 2b) D = ---9-- − --3----

Условие, что $|A|⁄= |B |$ дает нам, что $a2− 8⁄= 9− 4b$ или $a2+ 4b− 17⁄= 0$ .

2 2 C2-− D2-= (3−92a)-−-16+34b−-(6−a9)-+-4(2+32b) = A2 − B2 a2− 8− 9+ 4b

(9−-12a-+4a2)− (48+-12b)− (36−-12a-+a2)+12(2+2b) = 9(a2 +4b− 17) =

2 = −512+3a-+-12b= 1. 9(a + 4b− 17) 3

Ответ:

$1 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79924

Найдите количество различных приведённых квадратных трёхчленов (т.е. со старшим коэффициентом, равным 1) с целыми коэффициентами таких, что они имеют хотя бы один корень, все их корни являются степенями числа 3 с целыми неотрицательными показателями, и при этом их коэффициенты по модулю не превосходят $47 27 .$

Показать ответ и решение

Такие квадратные трёхчлены можно представить в виде $(x− 3a)(x− 3b)$ , где $a ≥0$ , $b≥ 0$ - целые числа. Чтобы исключить повторения, считаем, что $a ≥b$ . Раскрывая скобки, получаем $2 (a b) a+b x − 3 +3 x+ 3$ . По условию

{ 3a +3b ≤ 2747, { 3a+ 3b ≤3141 a+b 47 ⇔ 3 ≤ 27 a+ b≤ 141

Заметим, что если выполняется второе неравенство, то первое неравенство верно за исключением одного случая $a= 141,b= 0$ . Для каждого значения $a$ выпишем количество подходящих значений $b$ :

$a= 141⇒ 0$ значений $b$ ;

$a= 140⇒ 2$ значения $b(b∈{0;1})$ ;

$a= 139⇒ 3$ значения $b(b∈{0;1;2})$ ;

$a= 71 ⇒ 71$ значение $b(b∈ {0;1;...;70})$ ;

$a= 70 ⇒ 71$ значение $b(b∈ {0;1;...;70})$ ;

$a= 69 ⇒ 70$ значений $b(b∈{0;1;...;69})$ ;

$a= 68 ⇒ 69$ значений $b(b∈{0;1;...;68})$ ;

$a= 1⇒ 2$ значения $b(b∈ {0;1})$ ;

$a= 0⇒ 1$ значение $b(b= 0).$

Суммируя, получаем $(2 +3+ 4+ ...71)+(71+70+ 69+ ...+1)= 5111$ вариантов.

Ответ: 5111

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38128

Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y =f(x)$ и $y = g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $2 y = (f(x))$ касается графика функции $y =11g(x).$ Найдите все значения $A$ такие, что график функции $2 y =(g(x))$ касается графика функции $y = Af(x).$

Источники: Физтех-2018, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем пока просто записывать условие последовательно. Т.к. прямые параллельны, то коэффициент при х у них одинаков(например, k). Осталось записать условие на касание указанных функций(какое оно?), и понять, какие условия необходимы для касания требуемых функций.

Подсказка 2

Чтобы записать касание двух функций, достаточно их приравнять и потребовать единственное решение получившегося уравнения!

Подсказка 3

Если произошло касание, то уравнение (f(x))^2 = 11g(x) имеет ровно одно решение, а т.к. оно является квадратным, то его дискриминант равен нулю. Запишем это условие и сделаем выводы о свободных коэффициентах функций g(x) и f(x). Далее запишем условие на касание требуемых функций: (g(x))^2 = A*f(x) должно иметь нулевой дискриминант. Сделав несколько алгебраических преобразований и используя то, что мы узнали про свободные коэффициенты из первого касания, находим, при каких А дискриминант всё-таки нулевой!

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)=kx +a,g(x)= kx+ b$ . В силу условие на касание графиков у уравнения $k2x2+2kax+ a2 = 11kx+ 11b$ должен быть нулевой дискриминант, то есть

2 2 2 2 2 2 (2ka− 11k)− 4k(a − 11b)= 0 ⇐⇒ −44ka+ 121k +44kb =0

Из условия $k ⁄= 0$ , то есть $4(b− a)+ 11=0$ .

Теперь запишем второе условие $k2x2 +2kbx+ b2 = kAx +aA$ , условие на дискриминант

2 2 2 2 2 2 2 (2kb− Ak) − 4k (b − aA)= −4k bA + A k +4k aA= 0

Если $A= 0$ , то квадрат касается прямой $y =0$ , что нам подходит, иначе $− 4b+A + 4a = 0 ⇐ ⇒ A = 4(b− a)= −11$ . Поскольку условие на дискриминант равносильно условию задачи, то мы нашли все подходящие $A$ .

Ответ:

$0,−11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#51857

Когда к квадратному трёхчлену $f(x)$ прибавили $x2$ , его наименьшее значение увеличилось на $1$ , а когда из него вычли $2 x$ , его наименьшее значение уменьшилось на $3$ . А как изменится наименьшее значение $f(x)$ , если к нему прибавить $2 2x$ ?

Источники: Физтех-2017, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Поскольку у трёхчлена $f(x)= ax2 +bx+ c$ каждый раз были различные наименьшие значения, то $a> 1$ , по формуле это

0 ( b) b2 fmin = f − 2a = c− 4a = T

После прибавления $x2$

2 f1min =c −--b-- =T +1 4a+ 4

После вычитания $x2$

f2min =c −--b2- =T − 3 4a− 4

Напишем разности полученных уравнений

{ -b2- b2 { b2 -b2- ({ --b2---=1 −4ab+24 + c= −4ba2 + c+ 1 ⇐⇒ 4a −b2 4a+b42 = 1 ⇐⇒ ( 4a(ab2+1)- −4a−4 + c= −4a + c− 3 −4a +4a−4 = 3 4a(a−1) =3

Поделим нижнее на верхнее и получим $a+1- a− 1 = 3 ⇐ ⇒ a= 2$ , откуда находим $2 b =24$ , осталось рассмотреть прибавление $2 2x$

2 f3min = c−-b---= − 3+ c 4a+8 2

Поскольку $f0min = c− b24a-=c − 248 = c− 3$ , то минимум функции увеличится на $32$ .

Ответ:

увеличится на $3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#38126

Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает значения $13$ , $13$ и $35$ соответственно. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$ .

Источники: Физтех-2017, 9.1 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Допустим, что наши три числа это n-1, n и n+1. Наверное, вы уже пробовали их подставлять и вышло, мягко говоря, плоховато... Давайте попробуем подумать немного через график. Что является наименьшим возможным значением на нём и отчего оно зависит?

Подсказка 2

Верно, минимум на графике - это будет вершина параболы. Но что мы подставляем в аргумент, находя значение там? Это либо -b/2a по формуле, либо полусумма корней квадратного трёхчлена. Но ведь ни то, ни другое совсем не зависит от наших последовательных чисел, а только от изначального трёхчлена. Какой вывод тогда можно сделать?

Подсказка 3

Точно, мы можем подставить любые удобные нам три последовательных числа! Другими словами, на графике из-за параллельного переноса, наименьшее значение не поменяется. Тогда можно выбрать просто -1, 0 и 1, откуда просто найти коэффициенты квадратного трёхчлена, решив систему, а потом найти и его минимум.

Показать ответ и решение

От параллельного сдвига вдоль $Ox$ минимальное значение не поменяется, потому будем считать, что это значения $− 1,0,1$ . Если $2 f(x)= ax + bx+ c$ , то