Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана функция 
, где 
— многочлен степени 1000 с положительными коэффициентами. Пусть 
— сороковая
производная 
. Докажите, что
Подсказка 1
Нам в задаче дали какое-то большое число - 40, если мы не найдём закономерность, то нам надо будет считать все 40 производных, так давайте попробуем найти её и доказать.
Подсказка 2
Хм, написав первые несколько производных P(x)e^x, получаются какие-то уж больно знакомые коэффициенты, да и сумма количества значков производных тоже знакомая - она совпадает с номером производной, ещё и число такое 2^40, да тут все намёки на ...
Подсказка 3
Своеобразный бином Ньютона!!! Попробуйте доказать этот факт через индукцию.
Подсказка 4
Раз уж мы разгадали главную тайну задачи, то мы примерно понимаем, откуда возьмётся коэффициент
Подсказка 5
Может поможет какая-то мудрая оценка, причём мы уже знаем нашу конечную цель, которая намекает нам на то, как оценить каждое из слагаемых. Подумайте, на что бы очень хотелось заменить каждое из P...(x), чтобы получить то, что от нас требуют.
Подсказка 6
Эх, если бы могли как-то заменить их все на P(x), вот тогда бы зажили: мы бы могли его вынести, склеить с e^x, а в скобках был бы наш желанный коэффициент (1+1)^40.
Подсказка 7
Хорошо, что P(x) это многочлен, а производная суммы есть сумма производных, может получится оценить в лоб?
Подсказка 8
Рассмотрите произвольный одночлен P(x), помните, что нам надо оценить только для x=1000, посмотрите, всегда ли достигается равенство в полученной оценке или где-то знак получается строгим?
Рассмотрим какой-то одночлен 
. Его 
-ая производная равна 
, а поскольку и 
, и 
не больше
тысячи, эта производная не превосходит 
, причём равенство достигается только когда 
и 
.
Значит, аналогичное неравенство верно и для суммы одночленов. Подставляем вместо 
число 1000, и получаем, что
По индукции легко доказать:
Тогда, воспользовавшись доказанным в предыдущем абзаце, получаем, что
Кроме того, заметим, что поскольку в данной сумме встречается не только первая производная, хотя бы одно из суммируемых нами
равенств на самом деле строгое, поэтому мы можем заменить знак 
на 
.
Таким образом, мы получили, что 
, откуда делением на 
получаем требуемое неравенство.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
