Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение, используя свойства монотонной функции
Композиция функций разного характера монотонности — убывающая функция, следовательно, так как — убывающая, — возрастающая, то — убывающая. Функция возрастающая. Уравнение вида , где одна функция убывает, а другая возрастает, имеет не более одного решения. Подбором убеждаемся, что это
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство, используя свойства монотонной функции
Функция — возрастающая. Функция — убывающая на и убывающая на . Изобразим графики для большего понимая:
Нам подходят те значения переменной, при которых график находится выше графика . Это все , где — точка пересечения. Подбором находим, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение, используя свойства монотонной функции
Рассмотрим область определения уравнения
При функция возрастает (так как мы получаем правую часть ветви параболы, функции , и также возрастающие, композиция возрастающх — возрастающая функция. Так как характер монотонности правой части определить невозможно, ибо она представлена в виде разности возрастающих, сделаем следующее: умножим и разделим левую часть на положительное :
Функция возрастающая и положительная на области определения, следовательно, — убывающая. Следовательно, уравнение имеет вид , где слева – возрастающая, справа – убывающая. Уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых все решения уравнения
принадлежат отрезку .
Так как
то после замены , получаем
Заметим, что , то есть . Будем далее это учитывать.
Так как
то уравнение с должно иметь решения, принадлежащие отрезку
Пусть , . Заметим, что обе функции четные, так как , . Следовательно, если у уравнения есть решение , то у него также есть решение . Заметим также, что при : функция убывающая (так как является композицией возрастающей функции и убывающей ), функция является возрастающей (как композиция двух возрастающих функций и ), следовательно, уравнение при имеет не более одного корня. Подбором находим, что является решением этого уравнения. Следовательно, также является решением этого уравнения. Значит, нужно, чтобы
Так как , то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет ровно одно решение.
Рассмотрим семейства функций .
ОДЗ уравнения: . При этих :
Функция является строго возрастающей. Графиком функции является парабола, вершина которой находится в точке . Следовательно, при всех функция также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то – строго возрастает (константа не влияет на монотонность функции).
Функция при всех представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей.
Решить уравнение — значит найти точки пересечения функций и . Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня.
При . Следовательно, уравнение будет иметь единственное
решение в том случае, если:
.