Многочлены на Межведе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Многочлены на Межведе

Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Многочлены на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68095

a) Найдите многочлен наименьшей положительной степени с целыми коэффициентами, корнем которого является число $√- x0 = 5 − 1;$

б) С помощью пункта (а) найдите $f(x0),$ где

10 9 8 7 6 5 4 3 2 f(x)= x + x − 6x +4x − x − 2x + 4x +x + 3x − x

Ответ представьте в виде $a√5 +b,$ где $a$ и $b$ — целые числа.

Источники: Межвед-2023, 11.3 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас иррациональное число. Разве может оно быть корнем многочлена степени 1 с целыми коэффициентами?) А вот у многочлена степени 2?

Подсказка 2

Для второй степени придумывается пример. А вот можно сделать с пунктом б: попробуйте выделить из этого многочлена наш пример из пункта а). Так будет проще посчитать итоговый ответ.

Показать ответ и решение

а) Так как число $√5-− 1$ не рациональное число, то оно не может быть корнем многочлена степени $1$ с целыми коэффициентами, значит его степень хотя бы $2.$ Многочлен $2 g(x) =x + 2x− 4$ удовлетворяет условию задачи.

б) Заметим, что остаток $f(x)$ при делении на $g(x)$ равен $x+ 4.$ Тогда $f(x)= g(x)h(x)+ x+ 4$ для некоторого многочлена $h(x).$ Тогда

√- f(x0)=x0 +4= 5 +3.

Ответ:

$а) g(x)=x2 +2x− 4$

$√- б) 5+ 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71645

Сократите дробь

2x6+-5x4− 3x3+-2x2− 12x−-14 4x6− 4x4− 6x3− 3x2+25x− 28

В результате сокращения степени многочленов в числителе и знаменателе должны уменьшиться.

Источники: Межвед-2022, 11.3 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы упростить дробь, мы должны сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. Какой алгоритм мы знаем для нахождения НОД двух чисел?

Подсказка 2

Давайте применим алгоритм Евклида для числителя и знаменателя. Найдите остаток от деления знаменателя на числитель. Это можно сделать делением «уголком».

Подсказка 3

Если сделать всё правильно, то остаток будет равен -14x⁴-7x²+49. Теперь выполните тот же алгоритм для нашего числителя и остатка и будем его продолжать, пока одно из выражений не станет равным 0, оставшееся выражение и будет НОД числителя и знаменателя. Осталось только сократить на него.

Показать ответ и решение

Найдем наибольший общий делитель многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, используя алгоритм Евклида.

Для этого поделим с остатком знаменатель на числитель:

6 4 3 2 ( 6 4 3 2 ) 4 2 4x − 4x − 6x − 3x + 25x − 28= 2⋅ 2x +5x − 3x +2x − 12x − 14 − 14x − 7x +49

В результате деления получили остаток $− 14x4 − 7x2+ 49.$ Теперь числитель (который сейчас выступал в роли делителя) поделим (например, «уголком») на остаток:

6 4 3 2 ( 4 2 )( x2 2) 3 2x +5x − 3x + 2x − 12x− 14== −14x − 7x + 49 ⋅ − 2 − 7 + 4x + 2x− 14

Далее надо опять разделить делитель на остаток. В этот раз остаток от деления оказывается равным нулю:

( ) −14x4− 7x2 +49= − 7x ⋅4x3+ 2x− 14 2

Это означает, что многочлен $4x3+ 2x− 14$ является искомым наибольшим общим делителем числителя и знаменателя исходной дроби и он может быть «вынесен за скобки» (чтобы избежать появления дробных коэффициентов, будет удобнее использовать многочлен $2x3 +x − 7):$