Игры на Межведе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Игры на Межведе

Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Игры на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#39874

Есть $101$ клетка. Двое поочередно слева направо вписывают в эти клеточки по одной из цифр от $0$ до $9$ . Если после заполнения всех клеток сумма всех записанных цифр будет делиться на $11$ , то выиграет игрок, ходивший первым, а если не будет делиться на $11$ — то вторым. Какой из игроков выиграет при правильной своей игре и любой игре соперника? Ответ обосновать.

Источники: Межвед-2022, 11.1 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Итак, у нас ребята заполняют клетки по очереди числами, значит было здорово использовать стратегию дополнения!

Подсказка 2!

2) Да, можно всегда дополнять сумму до 9, так как цифры от 0 до 9. Попробуем играть так за второго, что у нас выйдет?

Подсказка 3!

3) Что в конце первый всегда будет ставить любое число и выиграет! Тогда попробуем играть за первого, и "передать ход" второму. То есть первый ставит какой-то х, а дальше дополняет сумму до 9. Как ему надо ходить, чтобы выиграть...?

Показать ответ и решение

Заметим, что первый игрок всегда может дописывать к предыдущему числу второго такое, что их сумма равна девяти. Тогда в парах $(2,3)...(100,101)$ сумма будет равна девяти, откуда вся сумма в клетках $2,3...101$ равна $50⋅9= 450 ≡11− 1$ . Выберем цифру в первой клетке, равной $1$ и вся сумма будет кратна $11$ при любой игре второго.