Уравнения, неравенства и системы на Межведе —Каталог задач по Олимпиадной математике

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Уравнения, неравенства и системы на Межведе

Тема Межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Уравнения, неравенства и системы на Межведе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межвед (на базе ведомственных образовательных организаций)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88067

Придумайте какую-нибудь систему из двух уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$ , решениями которой были бы все такие пары целых чисел $(x,y)$ , которые удовлетворяют системе неравенств

{ y ≤ 1000 − x2 2 y ≥ x

Других решений у системы быть не должно.

Замечание. Уравнения системы должны быть компактными выражениями (без знаков суммирования, троеточий и т.п.), в записи которых, помимо чисел и собственно неизвестных $x$ и $y$ , разрешается использовать скобки, знак $=$ , стандартные арифметические операции и элементарные функции из школьной программы.

Показать ответ и решение

Покажем, что система

(| ----sinπx---- |{ ∘1001−-x2− y-= 0 ||( ∘--sinπy---=0 1+ y− x2

является подходящей. Обозначим систему неравенств за $A$ . Покажем, что любая пара целых чисел, удовлетворяющих $A,$ является решением.

Действительно, пусть $A$ верно, тогда каждое из подкоренных выражений числителей неотрицательно, а каждый из числителей обращается в ноль, поскольку числа $x,y$ целые.

Теперь покажем, что никакая из других пар не является решением. Пусть $(x0,y0)$ — решение, тогда $sinπx= 0,$ следовательно, $x$ — целое и $sinπy = 0$ , следовательно, $y$ — целое. Кроме этого, $1001− x2− y > 0$ , а значит, $1001− x2− y > 1$ , откуда верно первое неравенство системы $A.$ Аналогично получаем, что верно второе неравенство системы $A.$

Ответ: пример в решении

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#88065

Известно, что система уравнений

{ 3x2+ 6y2 − x− y = 6 −3y2+ 6xy− x +2y = 2

имеет ровно четыре решения $(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)$ . Найдите сумму

x + y +x + y +x +y + x +y 1 1 2 2 3 3 4 4

Ответ округлите до десятых.

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы

2 −3y +6xy− x+ 2y = 2

2 (6y− 1)x =3y − 2y+ 2

Заметим, что $y = 1 6$ не является решением, тогда

x = 3y2−-2y+-2 6y− 1

Поставим $x$ в первое уравнение системы и преобразуем, получив уравнение 4-ой степени относительно $y$

(3y2− 2y+2 )2 3y2− 2y +2 3 ---6y-− 1- +6y2− --6y−-1-- − y =6

3(3y2 − 2y+ 2)2− (3y2− 2y+ 2)(6y− 1)+ (6y2− y− 6)(6y− 1)2 = 0

(27y4− 36y3+ 48y2− 24y+12)− (18y3− 15y2+ 14y − 2)+ (216y4− 108y3− 198y2+71y− 6)= 0

243y4− 162y3− 135y2+33y+ 8= 0

Заметим, что раз $(x1,y1),$ $(x2,y2),$ $(x3,y3),$ $(x4,y4)$ — решения системы, то $y1,$ $y2,$ $y3,$ $y4$ будут корнями данного уравнения, причём различными, иначе бы какие-то решения системы совпали в силу выражения $x$ через $y.$ Т.к. многочлен 4-ой степени может иметь не более 4 корней, значит, других не будет. Тогда по теореме Виета

162 2 y1+ y2 +y3+ y4 = 243-= 3

Теперь возьмём второе уравнение системы, удвоим его и сложим с первым уравнением, получим

2 3x − 3x +3y+ 12xy =10

(3+ 12x)y = (10+ 3x− 3x2)

Заметим, что $x= − 1 4$ не является решением, тогда

y = 10+-3x-− 3x2 3+ 12x

Подставим $y$ в первое уравнение системы и преобразуем, получив уравнение 4-ой степени теперь относительно $x:$

2 ( 10+ 3x − 3x2)2 10+ 3x − 3x2 3x +6 --3+-12x-- − x− --3+-12x-- =6

6(10+3x − 3x2)2− (10+3x− 3x2)(3+ 12x)+ (3x2− x− 6)(3+ 12x)2 = 0

(54x4− 108x3− 306x2+ 360x+ 600)− (−36x3 +27x2+ 129x+ 30)+

+ (432x4+ 72x3− 909x2− 441x − 54)= 0

486x4− 1242x2− 210x+ 516= 0

Аналогично случаю с $y$ по теореме Виета

x1+x2+ x3+ x4 = 0

В итоге

2 x1+ y1+x2+ y2+ x3+y3+ x4+ y4 = 3 ≈ 0,7

Ответ: 0.7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88064

Докажите неравенство

( -1-) ( -1-) -1-- -1-- log2 1+ 2023 +log2 2− 2024 >1 + 2023 − 2024

Показать доказательство

Докажем, что для всех $x∈ (0,1)$ верно неравенство

log2(x+1)> x

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Для этого достаточно показать, что $x+ 1> 2x.$ Действительно, пусть $f(x)=x +1− 2x$ , тогда $f′′(x)=− ln22 ⋅2x <0$ , следовательно, $f(x)$ выпукла вверх на отрезке $[0,1].$ Кроме этого $f(0)= 0$ и $f(1)= 1$ , а значит, $f(x)> x$ для всех $x ∈(0;1)$ , а значит, $f(x)>0$ для всех $x∈ (0;1)$ , откуда получаем требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Так как $-1- 0< 2023 <1$ и $-1- 0 <1− 2024 < 1,$ то применяем доказанное неравенство:

( 1 ) ( 1 ) 1 1 log2 1+ 2023- +log2 1+(1− 2024-) > 2023-+1− 2024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#71647

Известно, что положительные числа $x,y,z$ удовлетворяют системе:

(| x2+ y2+ xy =529 { x2+ z2+√3xz = 441 |( 2 2 z + y = 144

Найдите значение выражения $√3xy +2yz+ xz.$

Источники: Межвед-2022, 11.5 (см. www.academy.fsb.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Посмотрите внимательно, у нас в каждом выражении есть квадраты двух чисел и их произведение. Подумайте, на какую геометрическую теорему похожи наши выражения.

Подсказка 2

Каждое из выражений очень похоже на теорему косинусов. Как мы в таком случае можем геометрически изобразить наши уравнения?

Подсказка 3

Давайте рассмотрим треугольник ABC и точку O, расположенную внутри него. Пусть AO = y, BO = z, CO = x. В таком случае, чему равны величины углов ∠AOB, ∠AOC, ∠BOC и чему равны длины сторон треугольника ABC.

Подсказка 4

Теперь давайте рассмотрим выражение, значение которого нужно найти. Давайте перепишем его на языке сторон треугольника. Тогда сразу станет видно, что √3xy это 4 площади треугольника AOC, 2yz это 4 площади треугольника AOB, xz это 4 площади треугольника BOC. Как теперь мы можем найти значение выражения?

Подсказка 5

Значение выражения - не что иное, как 4 площади треугольника ABC. Осталось только найти его площадь, не забудьте, что мы уже нашли три его стороны.

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $ABC$ с выбранной внутри него точкой $O$ так, что